《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

13.如图,在△ABC中,AC = 5,AB = 13,将△ABC绕点C逆时针旋转,当点A的对应点落在BC边上的点D处时,点B的对应点恰好落在AC延长线上的点E处,则CE的长为( )

A.5
B.12
C.13
D.18

答案： 13.B　[解析]由题意知，∠ACB = ∠DCE，
∵∠ACB + ∠DCE = 180°，
∴∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴CE = CB = $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$ = 12。故选B。

14.(期中·23 - 24大同)如图,将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCM,点A,P,Q,B在同一直线上,连接CQ,QM,若∠PCQ = 45°,AP = 4,QB = 3,则PQ = ________.

答案： 14.5[解析]
∵AP = 4，△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCM，
∴AC = BC，AP = BM = 4，PC = MC，∠ACB = ∠PCM = 90°，∠A = ∠CBM，
∴∠A = ∠CBA = 45°，
∴∠A = ∠CBM = 45°，
∴∠QBM = 90°。
∵QB = 3，BM = 4，
∴QM = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5。
∵∠PCQ = 45°，∠PCM = 90°，
∴∠PCQ = ∠MCQ = 45°。
∵CQ = CQ，PC = MC，
∴△PCQ≌△MCQ(SAS)，
∴PQ = MQ = 5。故答案为5。

15.(期末·21 - 22太原)已知在△ABC中,AB = AC = 5,BC = 2√5.
请从A,B两题中任选一题作答,我选________
A.如图①,将线段AC绕点A逆时针旋转,点C的对应点为D.当∠DAC = ∠CAB时,连接BD,则线段BD的长为________.
B.如图②,将线段AC绕点C顺时针旋转,点A的对应点为D.当∠ACD = 90°时,连接BD,则线段BD的长为________.

答案：
15.A.8　B. $\sqrt{85}$　[解析]A.如图①，设AC交BD于点E，过点A作AH⊥BC于点H。
∵线段AC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为D，
∴AD = AC。
∵AB = AC，
∴AB = AD。
∵∠DAC = ∠CAB，
∴AE⊥BD，BE = DE。
∵AB = AC，AH⊥BC，
∴BH = CH = $\frac{1}{2}$BC = $\sqrt{5}$。
在Rt△ABH中，AH = $\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-(\sqrt{5})^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$。
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$BE·AC = $\frac{1}{2}$AH·BC，
∴BE = $\frac{2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$ = 4，
∴BD = 2BE = 8。故答案为8。

B.如图②，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DF⊥BC，与BC的延长线交于点F。
∵AB = AC，
∴BG = CG = $\frac{1}{2}$BC = $\sqrt{5}$，
∴AG = $\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-(\sqrt{5})^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$。
由旋转的性质得CD = AC = 5，
∵∠ACD = 90°，
∴∠ACB + ∠DCF = 90°。
∵∠ACB + ∠CAG = 90°，
∴∠CAG = ∠DCF。
又
∵∠AGC = ∠CFD = 90°，
∴△ACG≌△CDF(AAS)，
∴AG = CF = 2$\sqrt{5}$，DF = CG = $\sqrt{5}$，
∴BD = $\sqrt{BF^{2}+DF^{2}}$ = $\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}$ = $\sqrt{85}$。
故答案为$\sqrt{85}$。

16.探究性问题(期中·22 - 23运城实验中学)综合与实践
问题情境:在数学实践课上,老师让小组合作探究两个完全相同的含30°角的三角板拼图间存在的关系.
如图,△ABC≌△DEC,∠ACB = ∠DCE = 90°,∠B = ∠E = 30°,AC = DC = 4.
操作探究:
(1)如图①,当D,C,B在同一条直线上时,直线AB与直线DE的位置关系是________________________.
(2)如图②,将图①中的三角板DCE绕点C顺时针旋转120°,边DE与边CB交于点G,此时CE与AB的位置关系是______________________,判断此时△DCG的形状并证明.
(3)如图③,将图①中的三角板DCE绕着点C顺时针旋转,边AB与边CE交于点M,当△CBM是以BM为腰的等腰三角形时,求AM的长.

答案： 16.[解]
(1)AB⊥DE
(2)CE//AB
△DCG是等边三角形。证明如下：由旋转的性质可得∠ACD = 120° - ∠DCE = 120° - 90° = 30°，
∴∠DCG = ∠ACB - ∠ACD = 90° - 30° = 60°。
∵∠E = 30°，
∴在Rt△DCE中，∠D = 90° - 30° = 60°，
∴∠DCG = ∠D = 60°，
∴△DCG是等边三角形。
(3)分两种情况：
①当BM = CM时，∠MCB = ∠B = 30°，
∴∠AMC = ∠MCB + ∠B = 60°。
∵∠A = 60°，
∴∠AMC = ∠A = 60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM = AC = 4。
②当BM = BC时，
∵在Rt△ACB中，∠B = 30°，AC = 4，
∴AB = 2AC = 8。
由勾股定理可得BC = 4$\sqrt{3}$，
∴BM = BC = 4$\sqrt{3}$，
∴AM = AB - BM = 8 - 4$\sqrt{3}$。
综上，AM的长为4或8 - 4$\sqrt{3}$。