《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

18.(期末·22 - 23晋中)(8分)在第五章的复习课上，王老师带领同学们对异分母分式加减和解分式方程进行了对比学习，请仔细阅读下面两位同学的解题过程并完成相应的任务：
小亮同学的做法：
$\frac{3}{x - 3} + \frac{x - 12}{x(x - 3)}$
$=\frac{3x}{x(x - 3)} + \frac{x - 12}{x(x - 3)}$……第一步
$=\frac{4(x - 3)}{x(x - 3)}$……第二步
$=\frac{4}{x}$……第三步
小茵同学的做法：
$\frac{x}{x - 3} - \frac{x - 12}{x(x - 3)} = 1$，
$x^2 - x + 12 = x(x - 3)$，……第一步
$x^2 - x + 12 = x^2 - 3x$，……第二步
$2x = -12$，……第三步
$x = -6$……第四步
任务一：①小亮同学第一步的运算是______(从下列四个选项中选出正确的一项)，其依据是____________________；
A. 通分
B. 约分
C. 去分母
D. 因式分解
②小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是____________________.
任务二：小茵的解题步骤不完整，请你在下列方框内补充缺少的步骤.

答案： [解]任务一：①A 分式的基本性质(分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变)
②等式的基本性质(等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，结果仍是等式)
任务二：检验：把x = -6代入x(x - 3)，x(x - 3)≠0，
所以x = -6是原方程的根.

19.(月考·23 - 24太原三十七中)(8分)如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G. 求证：BF = CG.
　　　　　　

答案：
[证明]如图，连接BE，EC.
∵ ED⊥BC，D为BC的中点，
∴ BE = EC.
∵ EF⊥AB，EG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴ FE = EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
BE = CE，EF = EG，
∴ Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，
∴ BF = CG.