《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

10. 开放性问题 如图,在四边形ABCD中,AB//DC,对角线AC,BD相交于点O,当添加一个条件____________________时,四边形ABCD是平行四边形(填上你认为正确的一个答案即可 )

答案： AD//BC(答案不唯一)[解析]添加AD//BC，
∵AB//DC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.故答案为AD//BC(答案不唯一).

11. (期中·23 - 24运城盐湖区)如图,在四边形ABCD中,∠ACB = ∠CAD = 90°,∠BAC = 2∠ACD,E是BC边上一点,连接AE,过点E作EF⊥AB于点F,且CE = EF. 若AC = 6,AB = 10,则CD的长为________.

答案： 3$\sqrt{5}$　[解析]
∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE.
∵EF⊥AB，∠ACB=90°，CE=EF，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠EAC.
∵∠BAC=2∠ACD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE.
∵∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵S△ABC=S△ABE+S△ACE，
∴$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·EF+$\frac{1}{2}$AC·CE，
∴6×8=10CE+6CE，解得CE=3，
∴AD=3，
∴CD =$\sqrt{AC^{2}+AD^{2}}$=3$\sqrt{5}$.故答案为3$\sqrt{5}$.

12. (期中·23 - 24大同)如图,在四边形AFDE中,点B,C分别在AE,DF的延长线上,连接BC分别与AF,DE相交于点G,H,AB = DC,∠B = ∠C,BH = CG. 求证:四边形AFDE是平行四边形.

答案： [证明]
∵∠B=∠C，
∴AB//DC.
∵BH=CG，
∴BH+GH=CG+GH，即BG=CH.
在△ABG与△DCH中，AB=DC，∠B=∠C，BG=CH，
∴△ABG≌△DCH(SAS)，
∴∠AGB=∠DHC，
∴AF//DE.
又AB//DC，
∴四边形AFDE是平行四边形.

13. (月考·22 - 23山西省实验)已知:如图,在□ABCD中,DE⊥AC于点E.
(1)尺规作图:作线段BF,使BF⊥AC交AC于点F.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上,连接DF,BE,求证:四边形BEDF是平行四边形.
(3)若AD = 4,AC = 3√3,∠BCA = 30°,则BE = ________.

答案：

(1)[解]如图，线段BF为所求作.
(2)[证明]如图，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴BF//DE，∠AFB=∠CED=∠BFE=∠DEF=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
(3)分析:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4.
∵∠BCA=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴在Rt△BFC中，CF=$\sqrt{BC^{2}-BF^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=2$\sqrt{3}$.
由
(2)知△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=AC−CF=3$\sqrt{3}$−2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴EF=AC−AF−CE=3$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△BFE中，BE=$\sqrt{BF^{2}+EF^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{7}$.