《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

4. (期末·23 - 24运城盐湖区)如图，在四边形ABCD中，AB = CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F且DE = BF，求证：四边形ABCD是平行四边形.

答案： [证明]
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC = ∠AFB = 90°。
∵AB = CD，DE = BF，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴∠DCA = ∠BAF，
∴AB//CD。又
∵AB = CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。

5. (模考·2024太原万柏林区二模)如图，在□ABCD中，AB ＜ BC.
(1)实践与操作：利用尺规作图完成下面作图：
①在BC边上截取BE = AB，连接AE；
②作∠ABC的平分线，交AE于点O，交AD于点F(要求：不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)猜想与证明：试猜想线段BO与OF的数量关系，并加以证明.

答案：
[解]
(1)如图为所求作。
(2)BO = OF
证明:连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB = ∠CBF。
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABF = ∠CBF，
∴∠AFB = ∠ABF，
∴AF = AB。
∵BE = AB，
∴AF = BE。
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴BO = OF