《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

14. 如图①，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD = 20. 今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片. 若将甲、丙合并(AD，CB重合)形成一个对称图形戊，如图②所示，则图形戊中的四边形两对角线长度和为________.

答案： 26[解析]如图，连接$AD$,$EF$，则可得对角线$EF \perp AD$，且$EF$的长与平行四边形底边$BC$上的高相等.
∵平行四边形纸片$ABCD$的面积为120，$AD = 20$，
∴$BC = AD = 20$，$EF \cdot AD = 120$，
∴$EF = 6$，
∴图形戊中的四边形两对角线长度和为$20 + 6 = 26$.
故答案为26.

15. 如图，在□ABCD中，AB = 4，AD = 5，∠ABC = 30°，点M为直线BC上一动点，则MA + MD的最小值为________.

答案： $\sqrt{41}$[解析]如图，作$A$关于直线$BC$的对称点$A'$，连接$A'D$交$BC$于$M'$，则$AH = A'H$，$AH \perp BC$，$AM = A'M'$，
∴当$M$，$M'$重合时，$MA + MD$最小，最小值为$A'D$.
∵$AB = 4$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，在$\square ABCD$中，
∴$AH = \frac{1}{2}AB = 2$，$AD // BC$，
∴$AA' = 2AH = 4$，$AA' \perp AD$.
∵$AD = 5$，
∴$A'D = \sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{41}$.故答案为$\sqrt{41}$.

16.(8分)正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则过这个多边形的一个顶点可以作多少条对角线？

答案： [解]设正多边形的一个外角等于$x^{\circ}$，
∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，
∴这个正多边形的一个内角等于$3x^{\circ}$，
∴$x + 3x = 180$，解得$x = 45$，
∴这个多边形的边数是$360^{\circ} \div 45^{\circ} = 8$.
它的一个顶点可以引出$8 - 3 = 5$(条)对角线.

17.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，AB = 2√3，BC = 3√3，边AD与BC之间的距离为√10，求AB与CD间的距离.

答案： [解]设$AB$与$CD$间的距离为$h$.
根据题意，得$2\sqrt{3}h = 3\sqrt{3} \times \sqrt{10}$，解得$h = \frac{3\sqrt{10}}{2}$.
故$AB$与$CD$间的距离为$\frac{3\sqrt{10}}{2}$.