《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

15.(月考·23 - 24太原三十七中)如图,在锐角三角形ABC中,AB = 4$\sqrt{2}$,∠BAC = 45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是________.

答案：
4 [解析]如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，交AD于点M'，过点M'作M'N'⊥AB，垂足为N'，则BM' + M'N'为所求的最小值.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M'H = M'N'，
∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短).
∵AB = $4\sqrt{2}$，∠BAC = 45°，
∴BH = 4.
∴BM + MN的最小值是BM' + M'N' = BM' + M'H = BH = 4.
故答案为4.

16.(期中·22 - 23山大附中)如图,在等腰△BAC中,∠BAC = 120°,BC = 6,P为射线BA上一动点,M为BC上一动点,则PM+CP的最小值为________.

答案：
$3\sqrt{3}$ [解析]如图，作点C关于BA的对称点D，连接BD，点M₁是BC上一点，连接DM₁，交AB于点P，连接CP，作DM⊥BC于点M. 由对称可知，DP = CP，
∴PM₁ + CP = PM₁ + DP = DM₁，当DM⊥BC时，PM + CP最小，最小值为DM的长.
∵等腰三角形BAC中，∠BAC = 120°，BC = 6，
∴∠ABC = ∠ACB = 30°.
由对称得，∠ABD = 30°，BC = BD = 6，
∴∠CBD = 60°，∠MDB = 30°，
∴BM = $\frac{1}{2}BD = 3$，DM = $\sqrt{BD^{2}-MB^{2}}=3\sqrt{3}$.
故答案为$3\sqrt{3}$.

17.在△ABC中,已知BC = 6,BC边上的高h = 4,△ABC两个内角的平分线相交于点O,过点O作OD⊥BC于点D,则OD的最大值是________.

答案：
$\frac{3}{2}$ [解析]如图①，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F.
∵点O是△ABC两个内角的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD = OE = OF，
∴$\frac{1}{2}AB\cdot OF+\frac{1}{2}AC\cdot OE+\frac{1}{2}BC\cdot OD=\frac{1}{2}BC\cdot AH$，即$\frac{1}{2}AB\cdot OD+\frac{1}{2}AC\cdot OD+\frac{1}{2}BC\cdot OD=\frac{1}{2}\times6\times4$，
∴OD = $\frac{24}{AB + AC + 6}$.
记HC = x，则BH = 6 - x，由勾股定理可得AB + AC = $\sqrt{(6 - x)^{2}+4^{2}}+\sqrt{x^{2}+4^{2}}$，如下构图(图②).

$\sqrt{(6 - x)^{2}+4^{2}}+\sqrt{x^{2}+4^{2}}$即图②中A'P + A''P的值.
当A'，P，A''三点共线时，A'P + A''P有最小值A'A''，
由勾股定理可得A'A'' = 10，故AB + AC≥10，
∴OD的最大值是$\frac{24}{10 + 6}=\frac{3}{2}$. 故答案为$\frac{3}{2}$.

18.如图,在△ABC中,AB = AC,∠BAC = 90°,AE是过A点的一条直线,CE⊥AE于点E,BD⊥AE于点D,DE = 4 cm,CE = 2 cm,则BD =________cm.

答案： 6 [解析]
∵∠BAC = 90°，
∴∠BAD + ∠CAE = 90°.
∵BD⊥AE，
∴∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴∠ABD = ∠CAE. 在△ABD和△CAE中，$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA\\∠ABD = ∠CAE\\AB = AC\end{cases}$，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD = AE，AD = CE.
∵AE = AD + DE = CE + DE = 2 + 4 = 6(cm)，
∴BD = 6 cm.
故答案为6.

19.探究性问题(1)如图①,△ABC是等边三角形,点D为BC边上的一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作等边△ADE,连接CE,线段BD与CE的数量关系是__________,∠DCE =________.
(2)如图②,在△ABC中,∠BAC = 90°,AC = AB,点D为BC上的一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作等腰直角三角形ADE,∠DAE = 90°,连接CE,请求解下列问题并说明理由:
①∠DCE的度数;
②线段BD,CD,DE之间的数量关系.
(3)如图③,在(2)的条件下,若D点在BC的延长线上运动,以AD为边作等腰直角△ADE,∠DAE = 90°,连接CE,BE,若BE = 10,BC = 6,请直接写出DE²的值.

答案： [解]
(1)BD = CE 120°
分析：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB = AC，AD = AE，∠ACB = ∠B = 60°，∠BAC = ∠DAE = 60°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即∠BAD = ∠EAC.
在△ABD和△ACE中，AB = AC，∠BAD = ∠CAE，AD = AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD = CE，∠ACE = ∠B = 60°，
∴∠DCE = ∠ACE + ∠ACB = 60° + 60° = 120°.
故答案为BD = CE；120°.
(2)①∠DCE = 90°，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB = AC，AD = AE，∠ABC = ∠ACB = 45°，∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE.
∵∠B = ∠ACD = 45°，
∴∠DCE = ∠ACE + ∠ACD = 90°.
②BD² + CD² = DE²，理由如下：
由①可知，∠DCE = 90°，BD = CE，
在Rt△DCE中，由勾股定理得CE² + CD² = DE²，
∴BD² + CD² = DE².
(3)68
分析：同
(2)得△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD = ∠ACE = 45°，BD = CE，
∴∠BCE = ∠ACE + ∠ACB = 90°，
∴CE = $\sqrt{BE^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$，
∴BD = CE = 8，
∴CD = BD - BC = 8 - 6 = 2.
∵∠BCE = 90°，
∴∠DCE = 90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE² = CE² + CD² = 8² + 2² = 68，
即DE²的值为68.