《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

21.（期末·22 - 23运城改编）(10分）如图①所示的是一副重叠放置的三角尺，其中∠ABC = ∠EDF = 90°，∠A = 30°，∠E = 45°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，如图②，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC = 6，求AG的长度.

答案：
21.[解]
∵∠ABC=90°,
∴∠FBG=90°.
　
∵∠E=45°,
　
∴∠F=45°,∠F=∠FGB,
　
∴∠OGA=45°.
　
∵∠A=30°,BC=6,
　
∴AC=2BC=12.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵点O是AC的中点，,
∴AO=6.
　　　如图，过O作OH⊥AG于H,
　
∴∠AHO=∠OHG=90°,∠HOG=
　　　∠OGH=45°,
∴OH=HG.
　
∵∠A=30°,
∴HG=OH=$\frac{1}{2}$AO=3,
　
∴AH=$\sqrt{AO²−OH²}$=3√3,
∴AG=AH+HG=3√3+3.

22.（12分）如图，在△ABC中，∠ABC = 60°，将AC沿AB方向平移BC长，得DE，连接BE.
（1）求∠CBE的度数.
（2）在BC上取一点F，连接AF，DF. 已知BF = BD，求证：AF = DE.

答案：
22.
(1)[解]连接CE,如图，
　　　由平移易得AD=CE=BC,AD//CE,
　
∴∠BCE=∠ABC=60°,
　
∴△BCE为等边三角形，，
∴∠CBE=60°.
(2)[证明]
∵∠DBF=60°,BD=BF,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△BDF为等边三角形，
　
∴DF=BD,∠BDF=60°,
　
∴∠ADF=180°−∠BDF=120°.
9　　又∠EBD=∠CBE+∠DBF=120°,
∴∠ADF=∠EBD.
∵△BCE为等边三角形，，
∴BE=BC=AD.
　在△ADF和△EBD中,AD=EB,∠ADF=∠EBD,DF=BD,
∴△ADFB△EBD(SAS),
∴AF=DE.