《2025年初中总复习优化设计数学》

1.（2020广西贺州中考）如图，将两个完全相同的$Rt\triangle ACB$和$Rt\triangle A'C'B'$拼在一起，其中点$A'$与点$B$重合，点$C'$在边$AB$上，连接$B'C$，若$\angle ABC=\angle A'B'C'=30^\circ$，$AC=A'C'=2$，则$B'C$的长为（ ）
A. $2\sqrt{7}$ B. $4\sqrt{7}$ C. $2\sqrt{3}$ D. $4\sqrt{3}$

答案： A
在$Rt\triangle ACB$中，$\angle ABC=30^\circ$，$AC=2$，$\therefore AB=2AC=4$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
$\because \triangle A'C'B'\cong\triangle ACB$，点$A'$与$B$重合，$\therefore A'C'=AC=2$，$\angle A'B'C'=\angle ABC=30^\circ$，$B'C'=BC=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\angle BA'C'=60^\circ$，
$\therefore \angle B'AC'=60^\circ$，$\angle BAC'=60^\circ$，$\therefore \angle B'AC=120^\circ$，
在$\triangle AB'C$中，$AB=4$，$AC'=2$，由余弦定理得$B'C^2=AB^2+AC'^2-2AB\cdot AC'\cos120^\circ=4^2+2^2-2×4×2×(-\frac{1}{2})=28$，$\therefore B'C=2\sqrt{7}$，选A.

2.（2020湖南长沙中考）如图，一块直角三角尺的$60^\circ$角的顶点$A$与直角顶点$C$分别在平行线$FD$，$GH$上，斜边$AB$平分$\angle CAD$，交直线$GH$于点$E$，则$\angle ECB$的大小为（ ）
A. $60^\circ$ B. $45^\circ$ C. $30^\circ$ D. $25^\circ$

答案： C
$\because FD// GH$，$\angle ACD=90^\circ$，$\therefore \angle ACE=90^\circ$，
$\because AB$平分$\angle CAD$，$\angle BAC=60^\circ$，$\therefore \angle CAD=2\angle BAC=120^\circ$，
$\because FD// GH$，$\therefore \angle AEC=180^\circ-\angle CAD=60^\circ$，
在$Rt\triangle ECB$中，$\angle ECB=90^\circ-\angle AEC=30^\circ$，选C.

3.（2020广西南宁中考）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②（图②为图①的平面示意图），推开双门，双门间隙$CD$的距离为2寸，点$C$和点$D$距离门槛$AB$都为1尺（注：尺、寸是我国古代计量单位，1米=3尺，1尺=10寸），则$AB$的长是（ ）
A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸

答案： C
设单门宽度为$x$寸，则$AB=2x$寸，门轴到点$C$的水平距离为$(x-1)$寸（$CD=2$寸，半间隙1寸），垂直距离10寸（1尺=10寸），
由勾股定理得$x^2=10^2+(x-1)^2$，解得$x=50.5$，$\therefore AB=2x=101$寸，选C.

4.（2021四川成都中考）如图，数字代表所在正方形的面积，则$A$所代表的正方形的面积为______.

答案： 100
由勾股定理得，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，$A$所代表的正方形面积为$36+64=100$.