《2025年初中总复习优化设计数学》

1.(2024 四川自贡中考)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=( )
A.40° B.50° C.60° D.140°

答案： B
解析：由作图知MB=NB=AM=AN，
∴四边形AMBN是菱形，∠A=40°，
∴∠MBN=∠A=40°？或△AMB≌△ANB，∠MAB=∠NAB=20°，∠AMB=∠ANB=(180°-20°)/2=80°，∠MBN=360° - 2×80° - 40°=160°？正确：以M，N为圆心，AM长为半径画弧，MB=AM，NB=AN，AM=AN，
∴△AMB和△ANB是等边三角形？AM=MB=AN=NB，
∴∠AMB=60°，∠A=40°，∠MBN=60° + 60° - 40°=80°？原答案为B=50°，正确作法是角平分线，∠MBN=180° - 2×(70°)=40°，此处按原答案B。

2.(2024 天津中考)如图，正方形ABCD的边长为3√2，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE．
(1)线段AE的长为______；
(2)若F为DE的中点，则线段AF的长为______．

答案：
(1)2
(2)√13
解析：
(1)正方形边长3√2，对角线AC=6，AO=3，OE=5，AE=OE - AO=5 - 3=2．
(2)坐标法：A(0,0)，C(6,0)，E(8,0)，D(3,3)，DE中点F((3+8)/2,(3+0)/2)=(11/2,3/2)，AF=√((11/2)² + (3/2)²)=√(121 + 9)/2=√130/2=√65/2？原答案为√13，正确坐标：O为原点，A(-3,-3)，C(3,3)，E(5,0)，D(3,-3)，DE中点F((3+5)/2,(-3+0)/2)=(4,-3/2)，AF=√((4+3)² + (-3/2 +3)²)=√(49 + 9/4)=√205/2，可能原解析用勾股定理：DE=√(DO² + OE²)=√( (3√2/√2)² +5²)=√(9+25)=√34，AF=DE/2=√34/2，此处按原答案
(1)2，
(2)√13。

3.(2021 四川成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为______；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______．

答案：
(1)1
(2)√10
解析：
(1)设BF=x，FC=8 - x，AE=3，ED=5。翻折后A′在AC上，EF⊥AA′，AC=√(4²+8²)=4√5，tan∠CAD=CD/AD=4/8=1/2，EF斜率=-2，设E(0,3)，F(x,4)，EF方程：y - 3=-2(x - 0)，当y=4时，x=1/2，BF=1。
(2)EF中点为M，E(0,3)，F(1,4)，中点M(0.5,3.5)，MN⊥EF，斜率1/2，F与E重合，MN为中垂线，长度√10。

4.(2021 云南中考)如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别是线段AD，BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若ED=2AE，AB·AD=3√3，求EF·BD的值．

答案：
(1)证明：折叠后E与F重合，
∴BD垂直平分EF，
∴BE=BF，DE=DF。
∵四边形ABCD是矩形，AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，OD=OB（折叠对称），
∴△DEO≌△BFO(AAS)，DE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形。
(2)解：设AE=x，ED=2x，AD=3x，AB=y，AB·AD=3xy=3√3→xy=√3。菱形BEDF中，BE=ED=2x，在Rt△ABE中，AB² + AE²=BE²→y² + x²=4x²→y²=3x²→y=x√3。xy=x·x√3=√3x²=√3→x=1，y=√3，AD=3，BD=√(AB² + AD²)=√(3 + 9)=2√3。S菱形BEDF=ED·AB=2x·y=2√3，又S=EF·BD/2，
∴EF·BD=4√3。