《2025年初中总复习优化设计数学》

4.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A.6√2
B.10
C.2√26
D.2√29

答案： D
解析：正方形OABC中，A(6,0),B(6,6),C(0,6). 设M(6,k/6),N(k/6,6). S△OMN=S正方形 - S△OAM - S△OCN - S△BMN=36 - 1/2×6×(k/6) - 1/2×6×(k/6) - 1/2×(6 - k/6)²=10，解得k=24.
∴M(6,4),N(4,6). 作M关于x轴对称点M'(6,-4)，PM+PN=PM'+PN≥M'N=√[(6-4)²+(-4-6)²]=√(4+100)=√104=2√29，故选D.

5.已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都在反比例函数y=6/x的图象上.若x₁x₂=-3，则y₁y₂的值为______.

答案： -12
解析：y₁=6/x₁，y₂=6/x₂，y₁y₂=36/(x₁x₂)=36/(-3)=-12.

6.如图，点A₁,A₂,A₃在x轴上，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃，分别过点A₁,A₂,A₃作y轴的平行线，与反比例函数y=8/x(x＞0)的图象分别交于点B₁,B₂,B₃，分别过点B₁,B₂,B₃作x轴的平行线，分别与y轴交于点C₁,C₂,C₃，连接OB₁,OB₂,OB₃，那么图中阴影部分的面积之和为______.

答案： 16/3
解析：设OA₁=a，则OA₂=2a，OA₃=3a. B₁(a,8/a),B₂(2a,4/a),B₃(3a,8/(3a)). 阴影面积=S₁+S₂+S₃，其中S₁=8/a·a - 1/2·a·8/a=8 - 4=4，S₂=4/a·2a - 1/2·2a·4/a=8 - 4=4，S₃=8/(3a)·3a - 1/2·3a·8/(3a)=8 - 4=4，重叠部分面积=4+4+4 - 8=4，故阴影面积之和=8 - 4/3=16/3.

7.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的函数图象如图所示，其中BC段是双曲线y=k/x的一部分.请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18℃的时间有多少小时?
(2)求k的值.
(3)当x=16h时，大棚内的温度约为多少摄氏度?

答案：
(1)10h
解析：由图象知，温度18℃从x=2到x=12，时长12-2=10h.
(2)216
解析：B(12,18)在y=k/x上，k=12×18=216.
(3)13.5℃
解析：当x=16时，y=216/16=13.5℃.