《2025年初中总复习优化设计数学》

4.（2021江苏连云港中考）解不等式组：$\begin{cases}3x-1\geq x+1 \\ x+4＜4x-2\end{cases}$

答案： 解：解不等式①$3x-1\geq x+1$，
$2x\geq2$，
得$x\geq1$。
解不等式②$x+4＜4x-2$，
$-3x＜-6$，
得$x＞2$。
∴不等式组的解集为$x＞2$。

1. 不等式组$\begin{cases}2x-1＜5 \\ \frac{3x-1}{2}+1\geq x\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.

答案： （根据选项图，正确答案为相应选项，此处假设正确选项为A，具体需结合原图数轴）
解：解不等式①$2x-1＜5$，得$x＜3$。
解不等式②$\frac{3x-1}{2}+1\geq x$，
$3x-1+2\geq2x$，
$x\geq-1$。
∴解集为$-1\leq x＜3$，对应数轴选项A。

2. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这批水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）
A.40% B.33.4% C.33.3% D.30%

答案： B
解：设进价为a，质量为m，售价提高x，
则$(1-10\%)m(1+x)a\geq(1+20\%)ma$，
$0.9(1+x)\geq1.2$，
$1+x\geq\frac{1.2}{0.9}\approx1.333$，
$x\geq33.4\%$。

3. 若关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}x-2m＜0 \\ x+m＞2\end{cases}$有解，则m的取值范围为（ ）
A.$m＞-\frac{2}{3}$ B.$m\leq\frac{2}{3}$ C.$m＞\frac{2}{3}$ D.$m\leq-\frac{2}{3}$

答案： C
解：解不等式①$x＜2m$，解不等式②$x＞2-m$。
∵不等式组有解，
∴$2-m＜2m$，
$3m＞2$，
得$m＞\frac{2}{3}$。

4. 一组数据3，4，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组$\begin{cases}x-3\geq0 \\ 5-x＞0\end{cases}$的整数，则这组数据的平均数是______.

答案： 5.6
解：解不等式组$\begin{cases}x-3\geq0 \\ 5-x＞0\end{cases}$，得$3\leq x＜5$，整数x=3，4。
数据排序：3,3,4,6,8（x=3）中位数4≠3；3,4,4,6,8（x=4）中位数4=x，
∴x=4，平均数$\frac{3+4+4+6+8}{5}=5.6$。

5. 若方程组$\begin{cases}3x+y=k+1 \\ x+3y=3\end{cases}$的解为x，y，且2＜k＜4，则x-y的取值范围是______.

答案： 0＜x-y＜1
解：①-②得$2x-2y=k-2$，$x-y=\frac{k-2}{2}$。
∵2＜k＜4，
∴0＜k-2＜2，
$0＜\frac{k-2}{2}＜1$，即0＜x-y＜1。

6. 已知关于x的不等式组$\begin{cases}5x+2＞3(x-1) \\ \frac{1}{2}x\leq8-\frac{3}{2}x+2a\end{cases}$有四个整数解，则a的取值范围为______.

答案： -3≤a＜-2
解：解不等式①$5x+2＞3x-3$，得$x＞-\frac{5}{2}$。
解不等式②$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x\leq8+2a$，$2x\leq8+2a$，得$x\leq4+a$。
整数解为-2，-1，0，1，
∴1≤4+a＜2，
$-3\leq a＜-2$。

7. 若关于x的不等式组$\begin{cases}x-a＞2 \\ b-2x＞0\end{cases}$的解集是-1＜x＜1，则$(a+b)^{2023}=$______.

答案： -1
解：解不等式①$x＞a+2$，解不等式②$x＜\frac{b}{2}$。
∵解集-1＜x＜1，
∴$a+2=-1$，$\frac{b}{2}=1$，
a=-3，b=2，
$(a+b)^{2023}=(-1)^{2023}=-1$。

8. 某公司计划购进甲、乙两种规格的电脑，若购买甲种电脑3台，乙种电脑2台，则共需资金23000元；若购买甲种电脑4台，乙种电脑3台，则共需资金32000元.
(1)甲、乙两种电脑每台的价格分别是多少元；
(2)若公司计划购进这两种规格的电脑共20台，其中甲种电脑的数量不少于乙种电脑的数量，公司至多能够提供购买电脑的资金92000元，请设计几种购买方案供这个公司选择.

答案：
(1)甲5000元，乙4000元；
(2)3种方案：甲10台乙10台，甲11台乙9台，甲12台乙8台
(1)解：设甲x元，乙y元，
$\begin{cases}3x+2y=23000 \\ 4x+3y=32000\end{cases}$，
①×3-②×2得$x=5000$，代入①得$y=4000$。
(2)设甲m台，乙(20-m)台，
$\begin{cases}m\geq20-m \\ 5000m+4000(20-m)\leq92000\end{cases}$，
解①得$m\geq10$，
解②得$m\leq12$，
∴m=10,11,12，共3种方案。