《2025年初中总复习优化设计数学》

【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

答案： 3 cm
解析：设CD=x cm，折叠得△ACD≌△AED，AE=AC=6 cm，DE=CD=x cm，∠AED=90°。AB=√(6²+8²)=10 cm，EB=10-6=4 cm，BD=8-x cm。在Rt△DEB中，x²+4²=(8-x)²，解得x=3，即CD=3 cm。

变式训练 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

答案： 32 m或20+4√5 m或80/3 m
解析：①以8 m直角边为腰，扩充后腰长10 m，周长10+10+12=32 m；②以斜边为腰，设扩充后腰长x m，x²=8²+(x-6)²，解得x=25/3，周长2×25/3+10=80/3 m；③以8 m为底，扩充后腰长√(8²+4²)=4√5 m，周长8+8√5=20+4√5 m。

【例2】如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A=90^\circ$，$AB=3$，$AD=4$，$CD=13$，$CB=12$，求四边形$ABCD$的面积.

答案： 36
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
在$\triangle BCD$中，$CD=13$，$CB=12$，$BD=5$，
$\because CB^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2=CD^2$，
$\therefore \angle DBC=90^\circ$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD+\frac{1}{2}BC\cdot BD=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=6+30=36$.