《2025年初中总复习优化设计数学》

求:(1)DE,CD的长；(2)tan∠DBC的值.

答案：
(1)在Rt△AED中，cosA=AE/AD，即6/AD=3/5，解得AD=10。由勾股定理得DE=√(AD²-AE²)=√(10²-6²)=8。
∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DC=DE=8。
(2)AC=AD+DC=10+8=18。在Rt△ABC中，cosA=AC/AB，即18/AB=3/5，解得AB=30。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(30²-18²)=24。在Rt△BCD中，tan∠DBC=DC/BC=8/24=1/3。

【例4】如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E处，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB.

答案： 设AG=x m。在Rt△AFG中，tan∠AFG=AG/FG，∠AFG=60°，则FG=AG/tan60°=x/√3。在Rt△ACG中，tan∠ACG=AG/CG，∠ACG=30°，则CG=AG/tan30°=√3 x。
∵CG-FG=40，
∴√3 x - x/√3=40，解得x=20√3。
∴AB=AG+1.5=20√3 +1.5(m)。

变式训练 如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在点B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200m，请求出该河段的宽度.(结果保留根号)

答案： 过A作AD⊥BC于D，设AD=x m。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-30°=60°，tan∠ABD=AD/BD，即BD=AD/tan60°=x/√3。
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，则CD=AD=x。
∵BC=BD+CD=200，
∴x/√3 +x=200，解得x=100(3-√3)。
故河段宽度为100(3-√3)m。