《2025年初中总复习优化设计数学》

【例1】若$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2-x}}$有意义，则x的取值范围是______.

答案： $-1\leq x＜2$
解析：由题意得$\begin{cases}x + 1\geq0 \\ 2 - x ＞ 0\end{cases}$，解得$-1\leq x ＜ 2$。

【例2】把二次根式$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$化简后，结果正确的是( )
A.$\sqrt{-a}$ B.$-\sqrt{-a}$ C.$-\sqrt{a}$ D.$\sqrt{a}$

答案： B
解析：由$-\frac{1}{a} ＞ 0$得$a ＜ 0$，则$a\sqrt{-\frac{1}{a}} = a\sqrt{-\frac{a}{a^2}} = a\cdot\frac{\sqrt{-a}}{|a|} = a\cdot\frac{\sqrt{-a}}{-a} = -\sqrt{-a}$。

【例3】下列二次根式中，为最简二次根式的是( )
A.$\sqrt{2x^2}$ B.$\sqrt{b^2+1}$ C.$\sqrt{4a}$ D.$\sqrt{\frac{1}{x}}$

答案： B
解析：A中$\sqrt{2x^2}=|x|\sqrt{2}$，C中$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，D中$\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$，均不是最简二次根式，B是最简二次根式。

【例4】计算：$\sqrt{18}-\sqrt{\frac{9}{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}+(\sqrt{3}-2)^0+\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$

答案： $\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$
解析：原式$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-(1+\sqrt{2})+1+(\sqrt{2}-1) = 3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}-1$。