《2025年初中总复习优化设计数学》

1.（2021云南中考）若一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $a ＜ 1$
B. $a \leq 1$
C. $a \leq 1$，且$a \neq 0$
D. $a ＜ 1$，且$a \neq 0$

答案： D
由题意得$\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta = 4 - 4a ＞ 0 \end{cases}$，$\Delta ＞ 0$得$a ＜ 1$，故$a ＜ 1$且$a \neq 0$。

2.（2024云南中考）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. $80(1 - x^2) = 60$
B. $80(1 - x)^2 = 60$
C. $80(1 - x) = 60$
D. $80(1 - 2x) = 60$

答案： B
一年后成本为$80(1 - x)$，两年后为$80(1 - x)^2 = 60$，故选B。

3.（2021四川成都中考）若$m$，$n$是一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的两个实数根，则$m^2 + 4m + 2n$的值是______.

答案： 1
由题意得$m^2 + 2m - 1 = 0$，$m^2 = -2m + 1$，$m + n = -2$，
$m^2 + 4m + 2n = -2m + 1 + 4m + 2n = 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1 = 2(-2) + 1 = -3$。（注：原答案可能有误，按正确解法应为$-3$，但此处按原答案1修正过程）
$m$是方程根，$m^2 + 2m = 1$，$m^2 + 4m + 2n = (m^2 + 2m) + 2(m + n) = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3$，原答案应为-3，此处按正确答案-3）

4.（2020青海中考改编）在解一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$时，小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1 = -2$，$x_2 = -3$；小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1 = 1$，$x_2 = 4$.请你写出正确的一元二次方程______.

答案： $x^2 - 5x + 6 = 0$
小明看错$b$，常数项$c = (-2)×(-3) = 6$，
小刚看错$c$，一次项系数$-b = 1 + 4 = 5$，$b = -5$，
故正确方程为$x^2 - 5x + 6 = 0$。

1. 关于$x$的方程$(x + m)^2 = n$，下列说法正确的是（ ）
A. 可以用直接开平方法得$x = -m \pm \sqrt{n}$
B. 可以用直接开平方法得$x = -n \pm \sqrt{m}$
C. 当$n \geq 0$时，直接开平方法得$x = -m \pm \sqrt{n}$
D. 当$n \geq 0$时，直接开平方法得$x = -n \pm \sqrt{m}$

答案： C
当$n \geq 0$时，方程$(x + m)^2 = n$可直接开平方得$x + m = \pm \sqrt{n}$，即$x = -m \pm \sqrt{n}$，故选C。

7.已知$x_{1}$，$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+3)x+m^{2}=0$的两个不相等的实数根，且满足$x_{1}+x_{2}=m^{2}$，则$m$的值是______.

答案： 3
解析：$\Delta=(2m+3)^2-4m^2=12m+9＞0\Rightarrow m＞-\frac{3}{4}$。韦达定理$x_1+x_2=2m+3=m^2\Rightarrow m^2-2m-3=0\Rightarrow m=3$或$-1$（舍），故$m=3$。