《2025年初中总复习优化设计数学》

1. 一副三角尺有两个直角三角形，按如图所示的方式叠放在一起，则∠α的度数是( )
A. 165° B. 120° C. 150° D. 135°
（第1题图）

答案： A
解析：由图可知，30°三角尺的60°角与45°三角尺的90°角相邻，∠α=180°-(45°-30°)=165°，故选A。

2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．若BF＝AC，则∠ABC的大小是( )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
（第2题图）

答案： B
解析：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE。又
∵BF=AC，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，
∴AD=BD，
∴∠ABC=45°，故选B。

3. 如图，点P在∠MON的平分线上，点A，B在∠MON的两边上，要使△AOP≌△BOP，则需要添加一个条件是__________．

答案： OA=OB（或∠OAP=∠OBP或∠OPA=∠OPB）
解析：
∵OP平分∠MON，
∴∠AOP=∠BOP。若添加OA=OB，结合OP=OP，可由SAS证△AOP≌△BOP；若添加∠OAP=∠OBP，可由AAS证全等；若添加∠OPA=∠OPB，可由ASA证全等。

4. 若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足√(a²-9)+(b-2)²=0，则第三边c的取值范围是__________．

答案： 1＜c＜5
解析：由√(a²-9)+(b-2)²=0，得a²-9=0且b-2=0，
∴a=3（a=-3舍去），b=2。根据三角形三边关系，3-2＜c＜3+2，即1＜c＜5。

5. 如图，一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上__________根木条．

答案： 2
解析：n边形要固定不变形，需钉(n-3)根木条，五边形需5-3=2根。

6. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝50°，∠B＝35°，则∠ECD等于__________．

答案： 42.5°
解析：∠ACD=∠A+∠B=50°+35°=85°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=1/2∠ACD=42.5°。

7. 在边长为1的等边三角形ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为__________．

答案： √3/3
解析：等边三角形中线长AD=√3/2，重心O分AD为2:1，OA=2/3AD=2/3×√3/2=√3/3。

8. 如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，连接AE，CG，求证：AE＝CG．

答案： 证明：
∵四边形ABCD和DEFG是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG。在△ADE和△CDG中，AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG。

9. (1)问题发现：
如图甲，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为__________；
②线段AD，BE之间的数量关系是__________．
(2)拓展探究：
如图乙，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

答案：
(1)①60°；②AD=BE
解析：①
∵△ACB和△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADC=∠BEC。
∵∠CDE=60°，点A，D，E共线，
∴∠ADC=120°，∠BEC=120°，∠AEB=∠BEC-∠DEC=60°。②由△ACD≌△BCE得AD=BE。
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM
解析：
∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC。
∵∠CDE=45°，点A，D，E共线，
∴∠ADC=135°，∠BEC=135°，∠AEB=∠BEC-∠DEC=90°。
∵CM⊥DE，△DCE为等腰直角三角形，
∴CM=DM=ME，DE=2CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM。