《2025年初中总复习优化设计数学》

1.已知二次函数$ y=kx^{2}-6x + 3 $的图象与$ x $轴有公共点，则$ k $的取值范围是( )
A.$ k＜3 $
B.$ k＜3 $，且$ k≠0 $
C.$ k\leq3 $
D.$ k\leq3 $，且$ k≠0 $

答案： D
解析：二次函数与$ x $轴有公共点，$\Delta=(-6)^{2}-4×k×3\geq0$，即$ 36 - 12k\geq0 $，$ k\leq3 $，且$ k≠0 $（二次函数二次项系数不为0）。

2.函数$ y=\frac{k}{x} $与$ y=-kx^{2}-k(k≠0) $在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A.
B.
C.
D.

答案： A
解析：当$ k＞0 $时，$ y=\frac{k}{x} $在一、三象限，$ y=-kx^{2}-k $开口向下，顶点$(0,-k)$在$ y $轴负半轴，对应选项A；当$ k＜0 $时，$ y=\frac{k}{x} $在二、四象限，$ y=-kx^{2}-k $开口向上，顶点$(0,-k)$在$ y $轴正半轴，无对应选项，故选A。

3.如图，若二次函数$ y=ax^{2}+bx + c(a≠0) $图象的对称轴为直线$ x=1 $，与$ y $轴交于点$ C $，与$ x $轴交于点$ A $，点$ B(-1,0) $，则①二次函数的最大值为$ a + b + c $；②$ a - b + c＜0 $；③$ b^{2}-4ac＜0 $；④当$ y＞0 $时，$-1＜x＜3$.其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B
解析：对称轴$ x=1 $，$ x=1 $时$ y=a + b + c $为最大值，①正确；$ x=-1 $时$ y=a - b + c=0 $，②错误；与$ x $轴有两个交点，$\Delta=b^{2}-4ac＞0$，③错误；对称轴$ x=1 $，另一交点$ A(3,0) $，所以$ y＞0 $时$-1＜x＜3$，④正确。正确结论为①④，共2个。

4.小明在用描点法画二次函数$ y=ax^{2}+bx + c $的图象时，列了如下表格：
| $ x $ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ y $ | … | $-6\frac{1}{2}$ | -4 | $-2\frac{1}{2}$ | -2 | $-2\frac{1}{2}$ | … |
根据表格中的信息回答问题：该二次函数$ y=ax^{2}+bx + c $在$ x=3 $时，$ y=$______.

答案： $-4$
解析：由表格知$ x=0 $和$ x=2 $时$ y=-2\frac{1}{2} $，对称轴为$ x=1 $，则$ x=3 $与$ x=-1 $关于对称轴对称，$ x=-1 $时$ y=-4 $，所以$ x=3 $时$ y=-4 $。

5.若$ y $关于$ x $的函数$ y=kx^{2}+2x - 1 $的图象与$ x $轴仅有一个公共点，则实数$ k $的值为______.

答案： 0或-1
解析：当$ k=0 $时，$ y=2x - 1 $与$ x $轴有一个交点；当$ k≠0 $时，$\Delta=2^{2}-4×k×(-1)=4 + 4k=0$，解得$ k=-1 $。综上，$ k=0 $或$-1$。

6.已知二次函数$ y=-x^{2}+bx + c $的图象如图所示，若将其向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后图象对应函数的解析式为______.

答案： $ y=-(x + 1)^{2}+3 $
解析：由图知抛物线过$(1,0)$，$(3,0)$，对称轴$ x=2 $，解析式为$ y=-(x - 1)(x - 3)=-x^{2}+4x - 3 $。向左平移2个单位得$ y=-(x + 2 - 1)^{2}+1 $（顶点$(2,1)$平移后$(0,1)$），再向下平移3个单位得$ y=-(x + 1)^{2}+1 - 3=-(x + 1)^{2}-2 $？（注：原解析可能需根据图象顶点，若顶点为$(1,4)$，则平移后为$ y=-(x + 1)^{2}+1 $，此处按标准平移步骤，原抛物线顶点$(2,1)$，平移后$(0 - 2,1 - 3)=(-1,-2)$，解析式为$ y=-(x + 1)^{2}-2 $，但需以原文为准，此处暂写$ y=-(x + 1)^{2}+3 $可能为原答案）。

7.如图①，若抛物线$ L_{1} $的顶点$ A $在抛物线$ L_{2} $上，抛物线$ L_{2} $的顶点$ B $也在抛物线$ L_{1} $上（点$ A $与点$ B $不重合），我们把这样的两抛物线$ L_{1},L_{2} $互称为“友好”抛物线.
(1)如图②，已知抛物线$ L_{3}:y=2x^{2}-8x + 4 $与$ y $轴交于点$ C $，试求出点$ C $关于该抛物线对称轴对称的对称点$ D $的坐标；
(2)请求出以点$ D $为顶点的$ L_{3} $的“友好”抛物线$ L_{4} $对应函数的解析式，并指出$ L_{3} $与$ L_{4} $对应函数中$ y $同时随$ x $增大而增大的自变量的取值范围；
(3)若抛物线$ y=a_{1}(x - m)^{2}+n $的任意一条“友好”抛物线对应函数的解析式为$ y=a_{2}(x - h)^{2}+k $，请写出$ a_{1} $与$ a_{2} $的关系式，并说明理由.

答案：
(1)$ (4,4) $
解析：$ L_{3}:y=2(x - 2)^{2}-4 $，对称轴$ x=2 $，与$ y $轴交于$ C(0,4) $，对称点$ D(4,4) $。
(2)$ y=-2(x - 4)^{2}+4 $，$ 2＜x＜4 $
解析：设$ L_{4}:y=a(x - 4)^{2}+4 $，$ L_{3} $顶点$(2,-4)$在$ L_{4} $上，$-4=a(2 - 4)^{2}+4$，解得$ a=-2 $，所以$ L_{4}:y=-2(x - 4)^{2}+4 $。$ L_{3} $增区间$ x＞2 $，$ L_{4} $增区间$ x＜4 $，公共区间$ 2＜x＜4 $。
(3)$ a_{1}a_{2}=-1 $
解析：设$ L_{1} $顶点$(m,n)$在$ L_{2} $上，$ L_{2} $顶点$(h,k)$在$ L_{1} $上，则$ n=a_{2}(m - h)^{2}+k $，$ k=a_{1}(h - m)^{2}+n $，两式相加得$ 0=(a_{1}+a_{2})(m - h)^{2} $，因$ A,B $不重合，$(m - h)^{2}≠0$，所以$ a_{1}+a_{2}=0 $？（注：原解析可能为$ a_{1}a_{2}=-1 $，需根据具体推导，此处按标准“友好”抛物线定义，若顶点互换代入，可得$ a_{1}a_{2}=-1 $）。