《2025年初中总复习优化设计数学》

【例4】如图，若函数$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象与边长为5的等边三角形$ AOB $的边$ OA,AB $分别相交于$ C,D $两点，且$ OC = 3BD $，则实数$ k $的值为_______。

答案： $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
解析：设$ OA = 5 $，$ OC = 3m $，则$ BD = m $，$ AD = 5 - m $。过$ C,D $作$ x $轴垂线，垂足分别为$ E,F $。$\triangle OCE \sim \triangle OAB$，$ C( \frac{3m}{2}, \frac{3\sqrt{3}m}{2} )$；$ D(5 - \frac{m}{2}, \frac{\sqrt{3}m}{2} )$。因$ C,D $在双曲线上，$\frac{3m}{2} × \frac{3\sqrt{3}m}{2} = (5 - \frac{m}{2}) × \frac{\sqrt{3}m}{2}$，解得$ m = \frac{1}{2} $，故$ k = \frac{3}{2} × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} $。

【例5】如图，在平面直角坐标系中，点$ A $是反比例函数$ y_1 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $图象上的一点，$ AB \perp x $轴的正半轴于点$ B $，$ C $是$ OB $的中点；一次函数$ y_2 = ax + b $的图象经过$ A,C $两点，并交$ y $轴于点$ D(0,-2) $，若$ S_{\triangle AOD} = 4 $。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，请指出在$ y $轴的右侧，当$ y_1 ＞ y_2 $时，$ x $的取值范围。

答案：
(1)$ y_1 = \frac{8}{x} $，$ y_2 = x - 2 $；
(2)$ 0 ＜ x ＜ 4 $
解析：
(1) $ S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} × OD × AB = 4 $，$ OD = 2 $，故$ AB = 4 $，即$ A $的纵坐标为4。设$ A(a,4) $，$ C(\frac{a}{2},0) $，代入$ y_2 = ax + b $得$\begin{cases} b = -2 \\ \frac{a}{2}k - 2 = 0 \\ ak - 2 = 4 \end{cases}$，解得$ a = 4 $，$ k = 1 $，故$ A(4,2) $（注：原答案$ A(4,2) $，则$ k = 8 $，$ y_1 = \frac{8}{x} $，$ y_2 = x - 2 $）。
(2)联立$\frac{8}{x} = x - 2$，解得$ x = 4 $（正根），故$ 0 ＜ x ＜ 4 $时$ y_1 ＞ y_2 $。