《2025年初中总复习优化设计数学》

【例3】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD=6 cm，求直径AB的长.

答案： 4√3 cm
解析：连接OC，设OP=x，
∵P是OB中点，
∴OB=2x=OC.
∵AB⊥CD，
∴CP=3 cm.在Rt△OCP中，OC²=OP²+CP²，(2x)²=x²+3²，解得x=√3，
∴AB=2OB=4x=4√3 cm.

变式训练2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的⌒AB），点O是这段弧的圆心，C是⌒AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300 m，CD=50 m，则这段弯路的半径是______m.

答案： 250
解析：设半径为r，OD=r-50，AD=150 m.在Rt△OAD中，r²=150²+(r-50)²，解得r=250.

【例4】如图，半圆的直径AB=10，点C在半圆上，BC=6.
(1)求弦AC的长；
(2)若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长.

答案：
(1)
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8.
(2)
∵P为AB中点，
∴AP=5.
∵PE⊥AB，∠APE=90°=∠ACB，∠PAE=∠CAB，
∴△APE∽△ACB.
∴PE/BC=AP/AC，PE/6=5/8，
∴PE=15/4.