《2025年初中总复习优化设计数学》

【例2】如图，已知圆锥的侧面积为65π cm²，底面半径为5 cm，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）
A. 5/12 B. 5/13 C. 10/13 D. 12/13

答案： B
解析：圆锥侧面积S=πrl=65π，r=5，
∴l=13（母线长）.sinθ=底面半径/母线=5/13.

变式训练1 一个圆锥的底面半径为3 cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 \_\_\_\_\_\_ cm².

答案： 18π
解析：设母线长为l，侧面展开图半圆的弧长=πl=底面周长=2π×3=6π，
∴l=6.侧面积=1/2πl²=1/2π×36=18π.

【例3】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO.
(1)⌢AB所对的圆心角∠AOB=______；
(2)求证：PA=PB；
(3)若OA=3，求阴影部分的面积.

答案：
(1)120°
解析：
∵PA，PB是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°.
(2)证明：连接OP，
∵OA=OB，OP=OP，∠OAP=∠OBP=90°，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，
∴PA=PB.
(3)9√3 - 3π
解析：由
(2)得∠OPA=30°，在Rt△OAP中，OA=3，AP=OA/tan30°=3√3，
S_△OAP=1/2×3×3√3=9√3/2，
S_扇形OAB=120×π×3²/360=3π，
阴影面积=2×9√3/2 - 3π=9√3 - 3π.