《2025年初中总复习优化设计数学》

【例4】解方程组$\begin{cases} 3x - y = 5 \quad① \\ 5x + 2y = 23 \quad② \end{cases}$

答案： 方法一（加减消元法）：
$①×2$，得$6x - 2y = 10 \quad③$，
$② + ③$，得$11x = 33$，解得$x = 3$，
将$x = 3$代入①，得$9 - y = 5$，解得$y = 4$，
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$。
方法二（代入消元法）：
由①得$y = 3x - 5 \quad④$，
将④代入②，得$5x + 2(3x - 5) = 23$，
即$5x + 6x - 10 = 23$，$11x = 33$，解得$x = 3$，
将$x = 3$代入④，得$y = 4$，
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$。

【例5】如图，某化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批1000元/吨的原料运回工厂，制成8000元/吨的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元.
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

答案： （1）设工厂从A地购买了$x$吨原料，制成运往B地的产品$y$吨，
根据题意，得$\begin{cases} 1.5(10x + 20y) = 15000 \\ 1.2(120x + 110y) = 97200 \end{cases}$，
化简，得$\begin{cases} x + 2y = 1000 \quad① \\ 12x + 11y = 8100 \quad② \end{cases}$，
由①得$x = 1000 - 2y \quad③$，
将③代入②，得$12(1000 - 2y) + 11y = 8100$，
即$12000 - 24y + 11y = 8100$，$-13y = -3900$，解得$y = 300$，
将$y = 300$代入③，得$x = 400$，
故工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨。
（2）销售款为$300×8000 = 2400000$元，
原料费为$400×1000 = 400000$元，
运输费为$15000 + 97200 = 112200$元，
则销售款比原料费与运输费的和多$2400000 - (400000 + 112200) = 1887800$元。