《2025年初中总复习优化设计数学》

【例3】如图，铁路上$A$，$B$两站（视为直线上两点）相距14km，$C$，$D$为两村庄（可看为两个点），$DA\perp AB$于点$A$，$CB\perp AB$于点$B$，已知$DA=8\ km,CB=6\ km$，现要在铁路上建一个土特产收购站$E$，使$C$，$D$两村到$E$站的距离相等，则$E$站应建在距$A$站多少千米处？

答案： 6$km$
设$E$站应建在距$A$站$x\ km$处，则$BE=(14-x)\ km$.
在$Rt\triangle DAE$中，$DE^2=DA^2+AE^2=8^2+x^2$，
在$Rt\triangle CBE$中，$CE^2=CB^2+BE^2=6^2+(14-x)^2$，
$\because DE=CE$，$\therefore 8^2+x^2=6^2+(14-x)^2$，
解得$x=6$，
$\therefore E$站应建在距$A$站6km处.

【例4】已知在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，过点$A$的直线$a$从与边$AC$重合的位置开始绕点$A$按顺时针方向旋转角$\theta$，直线$a$交$BC$边于点$P$（点$P$不与点$B$、点$C$重合），$\triangle BMN$的边$MN$始终在直线$a$上（点$M$在点$N$的上方），且$BM=BN$，连接$CN$.
（1）当$\angle BAC=\angle MBN=90^\circ$时，
①如图a，当$\theta=45^\circ$时，$\angle ANC$的度数为______；
②如图b，当$\theta\neq45^\circ$时，①中的结论是否发生变化？说明理由.
（2）如图c，当$\angle BAC=\angle MBN\neq90^\circ$时，请直接写出$\angle ANC$与$\angle BAC$之间的数量关系，不必证明.

答案： （1）①45°；②不变，理由见解析；（2）$\angle ANC=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC$
（1）①45°.
②不变.理由：过$B$，$C$分别作$BD\perp AP$于$D$，$CE\perp AP$于$E$，
$\because \angle BAC=90^\circ$，$\therefore \angle BAD+\angle CAE=90^\circ$，
$\because BD\perp AP$，$\therefore \angle ABD+\angle BAD=90^\circ$，$\therefore \angle ABD=\angle CAE$，
又$AB=AC$，$\angle ADB=\angle CEA=90^\circ$，$\therefore \triangle ABD\cong\triangle CAE$，
$\therefore AD=CE$，$BD=AE$，
$\because \triangle MBN$为等腰直角三角形，$\therefore BD=DN$，$\therefore DN=AE$，
$\therefore NE=AD=CE$，$\because \angle NEC=90^\circ$，$\therefore \angle ANC=45^\circ$.
（2）$\angle ANC=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC$.