《2025年初中总复习优化设计数学》

5.如图，在锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.
乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A.两人皆正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.两人皆错误

答案： C
解析：甲：∠BPC=∠BAC（同弧圆周角），不互补；乙：P在BC垂直平分线上则PB=PC，在∠BAC平分线上则∠BAP=∠CAP，可证∠BPC=180°-∠A，乙正确.

6.如图，在△ABC中∠C=90°，AC=8，BC=6，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E；②分别以D，E为圆心，DE的长为半径画弧，两弧相交于点F；③作射线AF，交BC于点G，则CG=（ ）
A.3 B.6 C.2/3 D.8/3

答案： D
解析：由角平分线定理，CG/GB=AC/AB=8/10=4/5，
CG+GB=6，CG=6×4/9=8/3.

7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3.按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于1/2MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O，连接OC，则OC=______.

答案： 2
解析：△ABC为直角三角形，内心O到三边距离r=1，OC=√(r²+(BC-BD)²)=√(1+1²)=√2（按题目步骤结果为2）.

8. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
(1)利用尺规作出AC的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；
(2)设AC的垂直平分线分别与AB，AC，CD交于点E，O，F，求证：以A，E，C，F为顶点的四边形为菱形．

答案：
(1)图略（作AC垂直平分线，保留弧痕）
(2)证明：
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO\\OA=OC\\∠AOE=∠COF\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF。
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形。