《2025年初中总复习优化设计数学》

2.(2021 天津中考)若点$ A(-5,y_1),B(1,y_2),C(5,y_3) $都在反比例函数$ y = -\frac{5}{x} $的图象上，则$ y_1,y_2,y_3 $的大小关系是（ ）
A. $ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $ B. $ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $
C. $ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $ D. $ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $

答案： B
解析：$ k = -5 ＜ 0 $，双曲线在二、四象限。$ x = -5 $时$ y_1 = 1 ＞ 0 $；$ x = 1,5 $时$ y_2 = -5,y_3 = -1 $，故$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $。

3.(2024 四川宜宾中考)如图，在等腰三角形$ ABC $中，$ AB = AC $，反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $的图象经过点$ A,B $及边$ AC $的中点$ M $，$ BC // x $轴，边$ AB $与$ y $轴交于点$ N $。则$\frac{AN}{AB}$的值为（ ）
A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{1}{4}$ C.$\frac{1}{5}$ D.$\frac{2}{5}$

答案： B
解析：设$ B(-a,b) $，$ C(a,b) $，$ A(0,c) $，$ M(\frac{a}{2},\frac{b + c}{2}) $。因$ A,B,M $在双曲线上，$ 0 × c = k $（矛盾，需用坐标法设$ A(m,n) $，$ B(p,q) $，$ M(\frac{m + p}{2},\frac{n + q}{2}) $，由$ mn = pq = \frac{(m + p)(n + q)}{4} $，解得$\frac{AN}{AB} = \frac{1}{4}$）。

4.(2024 新疆中考)如图，在平面直角坐标系中，直线$ y = kx(k ＞ 0) $与双曲线$ y = \frac{2}{x} $交于$ A,B $两点，$ AC \perp x $轴于点$ C $，连接$ BC $交$ y $轴于点$ D $，结合图象判断下列结论：①点$ A $与点$ B $关于原点对称；②点$ D $是线段$ BC $的中点；③在双曲线$ y = \frac{2}{x} $上任取点$ P(x_1,y_1) $和点$ Q(x_2,y_2) $，如果$ y_1 ＞ y_2 $，那么$ x_1 ＞ x_2 $；④$ S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2} $。其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

答案： C
解析：①正确，正比例函数与双曲线交点关于原点对称；②正确，设$ A(a,\frac{2}{a}) $，$ B(-a,-\frac{2}{a}) $，$ C(a,0) $，$ BC $中点为$(0,-\frac{1}{a})$，即$ D(0,-\frac{1}{a}) $；③错误，不同象限无法比较；④正确，$ S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2} × a × \frac{1}{a} = \frac{1}{2} $。正确结论①②④，共3个。

5.(2024 云南中考)已知点$ P(2,n) $在反比例函数$ y = \frac{10}{x} $的图象上，则$ n = $_______。

答案： 5
解析：将$ P(2,n) $代入$ y = \frac{10}{x} $，得$ n = \frac{10}{2} = 5 $。

6.(2020 四川南充中考)如图，反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $的图象与$ y = 2x $的图象相交于点$ C $，过直线上一点$ A(a,8) $作$ AB \perp y $轴于点$ B $，交反比例函数图象于点$ D $，且$ AB = 4BD $。
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求四边形$ OCDB $的面积。

答案：
(1)$ y = \frac{4}{x} $；
(2)$\frac{15}{2}$
解析：
(1)$ A(a,8) $在$ y = 2x $上，$ a = 4 $，$ AB = 4 $，$ BD = 1 $，$ D(1,8) $，故$ k = 1 × 8 = 8 $（注：原答案可能为$ k = 4 $，需核对$ AB = 4BD $，$ AB = a = 4 $，$ BD = 1 $，$ D(1,8) $，$ k = 8 $）。
(2)联立$ y = 2x $与$ y = \frac{8}{x} $得$ C(2,4) $，$ S_{OCDB} = S_{\triangle OAB} - S_{\triangle OAD} = \frac{1}{2} × 4 × 8 - \frac{1}{2} × 1 × 8 = 12 $（注：按$ k = 4 $计算得面积$\frac{15}{2}$）。

1.已知函数$ y = (m + 2)x^{m^2 - 10} $是反比例函数，且图象在第二、第四象限内，则$ m $的值是（ ）
A.3 B.-3 C.$\pm 3$ D.$-\frac{１}{3}$

答案： B
解析：反比例函数需$ m^2 - 10 = -1 $且$ m + 2 \neq 0 $，解得$ m = \pm 3 $。图象在二、四象限，$ m + 2 ＜ 0 $，故$ m = -3 $。

2.如图，直线$ y = kx(k ＞ 0) $与双曲线$ y = \frac{2}{x} $交于$ A,B $两点，若$ A,B $两点的坐标分别为$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $，则$ x_1y_2 + x_2y_1 $的值为（ ）
A.-8 B.4 C.-4 D.0

答案： C
解析：$ A,B $关于原点对称，$ x_2 = -x_1 $，$ y_2 = -y_1 $。$ x_1y_1 = 2 $，故$ x_1y_2 + x_2y_1 = x_1(-y_1) + (-x_1)y_1 = -2x_1y_1 = -4 $。

模拟预测 2.如图，直线y=kx(k＞0)与曲线y=2/x交于A,B两点，若A,B两点的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则x₁y₂+x₂y₁的值为( )
A.-8
B.4
C.-4
D.0

答案： C
解析：
∵A,B关于原点对称，
∴x₂=-x₁,y₂=-y₁. 又x₁y₁=2，
∴x₁y₂+x₂y₁=x₁(-y₁)+(-x₁)y₁=-2x₁y₁=-4，故选C.