《2025年初中总复习优化设计数学》

【例1】当$ m $为何值时，$ y = (m - 1)x^{m^2 - 2} $是反比例函数？

答案： $ m = -1 $
解析：反比例函数需满足$\begin{cases} m^2 - 2 = -1 \\ m - 1 \neq 0 \end{cases}$，解得$ m^2 = 1 $，$ m = \pm 1 $，且$ m \neq 1 $，故$ m = -1 $。

变式训练 在同一平面直角坐标系中，一次函数$ y = kx - k $与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： C
解析：当$ k ＞ 0 $时，一次函数$ y = kx - k $过一、三、四象限，反比例函数在一、三象限（选项C符合）；当$ k ＜ 0 $时，一次函数过二、四、一象限，反比例函数在二、四象限，无对应选项。

【例2】已知点$(-1,y_1),(2,y_2),(3,y_3)$在反比例函数$ y = -\frac{k^2 - 1}{x} $的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. $ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $ B. $ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
C. $ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $ D. $ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $

答案： B
解析：$ -k^2 - 1 ＜ 0 $，双曲线在二、四象限。$ x = -1 $时$ y_1 ＞ 0 $；$ x = 2,3 $时$ y_2,y_3 ＜ 0 $，且在第四象限$ y $随$ x $增大而增大，故$ y_2 ＜ y_3 ＜ 0 $，则$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $。

【例3】在平面直角坐标系中，若一条平行于$ x $轴的直线$ l $分别交双曲线$ y = -\frac{6}{x} $和$ y = \frac{2}{x} $于$ A,B $两点，$ P $是$ x $轴上任意一点，则$\triangle PAB$的面积等于_______。

答案： 4
解析：设直线$ l: y = b $，则$ A(-\frac{6}{b},b) $，$ B(\frac{2}{b},b) $，$ AB = \frac{2}{b} - (-\frac{6}{b}) = \frac{8}{|b|} $。$\triangle PAB$的高为$|b|$，面积$ S = \frac{1}{2} × \frac{8}{|b|} × |b| = 4 $。