《2025年初中总复习优化设计数学》

【例3】一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4．
(1)如图①，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；
(2)如图②，若将纸片沿直线l对折，点B落在x轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q的坐标是(3,2)，求直线l对应函数的解析式．若点Q的坐标是(4,2)，你能确定直线l对应函数的解析式吗？若能，求出其解析式；若不能，请说明理由．

答案：
(1)解：
∵四边形OABC为矩形，OA=5，OC=4，
∴B(5,4)，BC=5，CD=BC=5。在Rt△OCD中，OD=√(CD²-OC²)=√(5²-4²)=3，
∴D(3,0)。
(2)解：当Q(3,2)时，Q为BF中点，设F(m,0)，则(5+m)/2=3，(4+0)/2=2，
∴m=1，F(1,0)。BF斜率为(4-0)/(5-1)=1，直线l垂直BF，斜率为-1，
∴直线l：y-2=-(x-3)，即y=-x+5。
当Q(4,2)时，设F(n,0)，(5+n)/2=4，n=3，F(3,0)。BF斜率(4-0)/(5-3)=2，直线l斜率-1/2，
∴直线l：y-2=-1/2(x-4)，即y=-1/2x+4。

【例4】如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：(1)DF＝DE；(2)AD平分∠BAC．

答案：
(1)证明：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°。又∠BDF=∠CDE，BD=CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF=DE。
(2)证明：在Rt△ADF和Rt△ADE中，AD=AD，DF=DE，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，
∴∠FAD=∠EAD，即AD平分∠BAC。