《2025年初中总复习优化设计数学》

1. (2020 四川成都中考)如图，直线$ l_{1}// l_{2}// l_{3} $，直线$ AC $和$ DF $被$ l_{1},l_{2},l_{3} $所截，$ AB=5 $，$ BC=6 $，$ EF=4 $，则$ DE $的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. $\frac{10}{3}$

答案： D
解析：由平行线分线段成比例定理得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，即$\frac{5}{6}=\frac{DE}{4}$，解得$DE=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$。

2. (2021 江苏连云港中考)如图，$\triangle ABC$中，$ BD\perp AB $，$ BD $，$ AC $相交于点$ D $，$ AD=\frac{4}{7}AC $，$ AB=2 $，$\angle ABC=150^{\circ}$，则$\triangle DBC$的面积是( )
A. $\frac{3\sqrt{3}}{14}$ B. $\frac{9\sqrt{3}}{14}$ C. $\frac{3\sqrt{3}}{7}$ D. $\frac{6\sqrt{3}}{7}$

答案： A
解析：由$AD=\frac{4}{7}AC$得$\frac{AD}{DC}=\frac{4}{3}$。过$C$作$CE\perp AB$延长线于 $E$，易证$\triangle ABD//\triangle AEC$，相似比$\frac{4}{7}$。设$BD=4k$，则$CE=7k$。$\angle ABC=150^{\circ}$，$\angle CBE=30^{\circ}$，$CE=BC\sin30^{\circ}$，$BE=BC\cos30^{\circ}$。由向量夹角公式得$BC=\sqrt{3}$，进而求得$k=\frac{\sqrt{3}}{14}$，$BD=\frac{2\sqrt{3}}{7}$。$\triangle DBC$面积$=\frac{1}{2}× BC× BD×\sin60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。

3. (2021 云南中考)如图，在$\triangle ABC$中，点$ D $，$ E $分别是$ BC $，$ AC $的中点，$ AD $与$ BE $相交于点$ F $。若$ BF=6 $，则$ BE $的长是______.

答案： 9
解析：$D$，$E$为中点，$AD$，$BE$为中线，交点$F$为重心，$BF=\frac{2}{3}BE$，则$BE=\frac{3}{2}BF=9$。

4. (2021 江苏连云港中考)如图，$ BE $是$\triangle ABC$的中线，点$ F $在$ BE $上，延长$ AF $交$ BC $于点$ D $。若$ BF=3FE $，则$\frac{BD}{DC}=$______.

答案： $\frac{3}{2}$
解析：过$E$作$EG// AD$交$BC$于$G$，$E$为$AC$中点，则$G$为$DC$中点，$DG=GC$。$BF=3FE$，$\frac{BD}{DG}=\frac{BF}{FE}=3$，设$DG=GC=x$，则$BD=3x$，$DC=2x$，$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$。

5. (2020 湖南长沙中考)如图，在矩形$ ABCD $中，$ E $为$ DC $上的一点，把$\triangle ADE$沿$ AE $翻折，使点$ D $恰好落在$ BC $边上的点$ F $处。
(1)求证：$\triangle ABF\sim\triangle FCE$；
(2)若$ AB=2\sqrt{3} $，$ AD=4 $，求$ EC $的长；
(3)若$ AE-DE=2EC $，记$\angle BAF=\alpha$，$\angle FAE=\beta$，求$\tan\alpha+\tan\beta$的值。

答案：
(1)证明：$\angle AFB+\angle EFC=90^{\circ}$，$\angle BAF+\angle AFB=90^{\circ}$，则$\angle BAF=\angle EFC$，又$\angle B=\angle C=90^{\circ}$，故$\triangle ABF\sim\triangle FCE$。
(2)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析：$AF=AD=4$，$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{16-12}=2$，$FC=BC-BF=4-2=2$。由$\triangle ABF\sim\triangle FCE$得$\frac{AB}{FC}=\frac{BF}{EC}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{EC}$，解得$EC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(3)2
解析：设$EC=x$，$DE=EF=y$，则$AE=y+2x$，$AB=CD=y+x$。由勾股定理$AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}$得$(y+2x)^{2}=AD^{2}+y^{2}$，化简得$AD^{2}=4x(y+x)$。$\tan\alpha=\frac{BF}{AB}$，$\tan\beta=\frac{EF}{AF}=\frac{y}{AD}$，结合相似比得$\tan\alpha+\tan\beta=2$。

模拟预测 1. 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与$\triangle ABC$相似的是( )
A. B. C. D.

答案： B
解析：$\triangle ABC$三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，三边比$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。选项B中三角形三边长为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，比值相同，故相似。