《2025年初中总复习优化设计数学》

考点二 一元二次方程的解法
3. 公式法
方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，且$b^2 - 4ac \geq 0$，则$x = $______.

答案： $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

考点三 一元二次方程根的判别式
关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的根的判别式为______，记为$\Delta$.
（1）$b^2 - 4ac ＞ 0 \Leftrightarrow$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有两个______的实数根.
（2）$b^2 - 4ac = 0 \Leftrightarrow$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有两个______的实数根.
（3）$b^2 - 4ac ＜ 0 \Leftrightarrow$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$______实数根.

答案： $b^2 - 4ac$；不相等；相等；没有

考点四 一元二次方程根与系数的关系
2. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两根为$x_1$，$x_2$，那么有$x_1 + x_2 = $______，$x_1x_2 = $______.

答案： $-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$

【例1】解方程：$x(x + 6) = 16$

答案： 解法一（因式分解法）：
$x^2 + 6x - 16 = 0$，$(x + 8)(x - 2) = 0$，
$x + 8 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = -8$，$x_2 = 2$。
解法二（公式法）：
$x^2 + 6x - 16 = 0$，$a = 1$，$b = 6$，$c = -16$，
$\Delta = 36 + 64 = 100$，$x = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}$，
$x_1 = \frac{4}{2} = 2$，$x_2 = \frac{-16}{2} = -8$。
解法三（配方法）：
$x^2 + 6x = 16$，$x^2 + 6x + 9 = 16 + 9$，$(x + 3)^2 = 25$，
$x + 3 = \pm5$，$x_1 = 2$，$x_2 = -8$。