《2025年初中总复习优化设计数学》

变式训练1 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A. 8≤AB≤10 B. 8＜AB≤10 C. 4≤AB≤5 D. 4＜AB≤5

答案： A
解析：当AB与小圆相切时，弦长最短，此时圆心到AB的距离为小圆半径3，由垂径定理得AB=2√(5²-3²)=8；当AB为大圆直径时，弦长最长为10.
∵弦AB与小圆有公共点，
∴8≤AB≤10.

变式训练2 如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，点P在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°

答案： B
解析：连接OD，
∵AB为直径，AB=2，
∴OA=OB=OD=1.
∵AD=1，
∴OA=OD=AD，△OAD为等边三角形，∠OAD=60°，∠ODA=60°.
∵CD是切线，OD⊥CD，∠ODC=90°，∠ADC=30°.当P与D重合时，∠APB最大（圆外角性质）.在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB·ADcos60°=4+1-2×2×1×1/2=3，BD=√3.
∵AB是直径，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，即∠ABP=30°.

【例3】（1）如图①，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，如果∠PAB=30°，那么∠AOB= \_\_\_\_\_\_；
（2）如图②，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA，CB，如果AB=12 cm，∠ACD=30°，那么AC= \_\_\_\_\_\_ cm.

答案： （1）60° （2）6
解析：（1）
∵PA是切线，
∴OA⊥PA，∠OAP=90°.
∵∠PAB=30°，
∴∠OAB=60°.
∵OA=OB，△OAB是等边三角形，∠AOB=60°.
（2）连接OC，
∵DC是切线，OC⊥DC，∠OCD=90°.
∵∠ACD=30°，
∴∠OCA=60°.
∵OA=OC，△OAC是等边三角形，AC=OA=1/2AB=6 cm.

【例4】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线.

答案： 证明：连接OC，BC.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°.
∵OB=OC，△OBC是等边三角形，BC=OB，∠OCB=60°.
∵BD=OB，
∴BC=BD，∠BCD=∠D.
∵∠ABC=∠BCD+∠D=60°，
∴∠BCD=30°.
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，OC⊥DC.
∵OC是半径，
∴DC是⊙O的切线.