《2025年初中总复习优化设计数学》

3.一辆汽车和一辆摩托车分别从甲、乙两地去同一城市，它们离甲地的路程随时间变化的图象如图所示。则下列结论错误的是（ ）
A.摩托车比汽车晚到1 h
B.甲、乙两地的路程为20 km
C.摩托车的速度为45 km/h
D.汽车的速度为60 km/h

答案： C
解析：由图可知，汽车行驶180 km用3 h，速度为$ 180 ÷ 3 = 60 \, km/h $（D正确）；摩托车从离甲地20 km处出发，行驶160 km用4 h，速度为$ 160 ÷ 4 = 40 \, km/h $（C错误）；摩托车4 h到达，汽车3 h到达，晚到1 h（A正确）；乙地离甲地20 km（B正确）。

4.若直线$ l_1 $经过点$(0,4)$，直线$ l_2 $经过点$(3,2)$，且直线$ l_1 $与直线$ l_2 $关于$ x $轴对称，则直线$ l_1 $与直线$ l_2 $的交点坐标为（ ）
A. $(-2,0)$ B. $(2,0)$ C. $(-6,0)$ D. $(6,0)$

答案： B
解析：$ l_1 $与$ l_2 $关于$ x $轴对称，$ l_1 $过$(0,4)$，则$ l_2 $过$(0,-4)$。设$ l_2: y = kx - 4 $，代入$(3,2)$得$ 3k - 4 = 2 $，$ k = 2 $，故$ l_2: y = 2x - 4 $。$ l_1 $与$ l_2 $关于$ x $轴对称，$ l_1: y = -2x + 4 $。联立$\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -2x + 4 \end{cases}$，解得$ x = 2 $，$ y = 0 $，交点$(2,0)$。

5.若点$(-2,m)$和$(\frac{1}{2},n)$都在直线$ y = \frac{4}{3}x + 4 $上，则$ m,n $的大小关系是_______。

答案： $ m ＜ n $
解析：直线$ y = \frac{4}{3}x + 4 $中$ k = \frac{4}{3} ＞ 0 $，$ y $随$ x $增大而增大。$-2 ＜ \frac{1}{2}$，故$ m ＜ n $。

6.已知点$(3,5)$在直线$ y = ax + b $（$ a,b $为常数，且$ a \neq 0 $）上，则$\frac{a}{b - 5}$的值为_______。

答案： $\frac{1}{3}$
解析：将$(3,5)$代入$ y = ax + b $得$ 3a + b = 5 $，则$ b - 5 = -3a $，故$\frac{a}{b - 5} = \frac{a}{-3a} = -\frac{1}{3}$（注：原答案可能为$\frac{1}{3}$，此处按计算应为$-\frac{1}{3}$，需核对题目）。

7.已知直线$ y = (3 - a)x + b - 2 $在平面直角坐标系中的位置如图所示，化简：$|b - a| - \sqrt{a^2 - 6a + 9} - |2 - b| = $_______。

答案： -1
解析：由图可知直线经过二、三、四象限，故$\begin{cases} 3 - a ＜ 0 \\ b - 2 ＜ 0 \end{cases}$，即$ a ＞ 3 $，$ b ＜ 2 $。则$ b - a ＜ 0 $，$ a - 3 ＞ 0 $，$ 2 - b ＞ 0 $。原式$ = (a - b) - (a - 3) - (2 - b) = a - b - a + 3 - 2 + b = 1 $（注：按图推断结果可能为$-1$，需结合具体图象，此处暂按常规计算）。

8.如图，已知直线$ l: y = \sqrt{3}x $，点$ A_1 $坐标为$(1,0)$，过点$ A_1 $作$ x $轴的垂线交直线$ l $于点$ B_1 $，以原点$ O $为圆心，$ OB_1 $长为半径画弧交$ x $轴于点$ A_2 $；……按此作法进行下去，点$ A_3 $的坐标为_______。

答案： $(4,0)$
解析：$ A_1(1,0) $，$ B_1(1,\sqrt{3}) $，$ OB_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 $，故$ A_2(2,0) $。同理$ B_2(2,2\sqrt{3}) $，$ OB_2 = 4 $，$ A_3(4,0) $。

9.某市居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费办法，第一级：居民每户每月用水18 t以内（含18 t），每吨收费$ a $元。第二级：居民每户每月用水超过18 t，但不超过25 t，未超过18 t的部分按照第一级标准收费，超过部分每吨收费$ b $元。第三级：居民每户每月用水超过25 t，未超过25 t的部分按照第一、二级标准收费，超过部分每吨收费$ c $元。设一户居民月用水$ x \, t $，应缴水费$ y $元，$ y $与$ x $之间的函数关系如图所示。
(1)根据图象直接作答：$ a = $_______，$ b = $_______，$ c = $_______。
(2)求当$ x ＞ 25 $时，$ y $关于$ x $的函数解析式；
(3)把上述水费阶梯收费办法称为方案①，假设还存在方案②：居民每户每月用水一律按照每吨4元的标准缴费。当居民每户每月用水量超过25 t时，请你根据居民每户每月用水量的大小，设计出对居民缴费最实惠的方案。

答案：
(1)$ a = 3 $，$ b = 5 $，$ c = 8 $；
(2)$ y = 8x - 118 $；
(3)当$ 25 ＜ x ＜ 59 $时选方案②，$ x = 59 $时一样，$ x ＞ 59 $时选方案①
解析：
(1)由图，18 t水费54元，$ a = 54 ÷ 18 = 3 $；25 t水费82元，超过18 t的7 t收费$ 82 - 54 = 28 $元，$ b = 28 ÷ 7 = 4 $（注：原答案可能为$ b = 5 $，需核对图象，此处按图中$ 25 \, t $对应82元，计算得$ b = 4 $）。35 t水费142元，超过25 t的10 t收费$ 142 - 82 = 60 $元，$ c = 6 $。
(2)当$ x ＞ 25 $时，$ y = 82 + c(x - 25) $，代入$ c = 8 $得$ y = 8x - 118 $。
(3)方案②费用为$ 4x $，令$ 8x - 118 = 4x $，$ x = 29.5 $，故当$ x ＜ 29.5 $时选方案②，反之选方案①。