《2025年初中总复习优化设计数学》

【例6】对某房间进行“熏药消毒”。已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量$ y $（单位：mg）与燃烧时间$ x $（单位：min）之间的关系如图（即图中线段$ OA $和双曲线在点$ A $及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，$ y $与$ x $之间的函数解析式及自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2 mg时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多少分钟内不能进入该房间？

答案：
(1)$ y = \begin{cases} \frac{2}{3}x, 0 \leq x ＜ 15 \\ \frac{150}{x}, x \geq 15 \end{cases} $；
(2)75 min
解析：
(1)线段$ OA $过$(15,10)$，设$ y = kx $，则$ 15k = 10 $，$ k = \frac{2}{3} $。双曲线过$(15,10)$，设$ y = \frac{m}{x} $，则$ m = 150 $。
(2)令$\frac{150}{x} = 2$，$ x = 75 $，故至少75 min内不能进入。

1.(2023 湖南永州中考)已知点$ M(2,a) $在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象上，其中$ a,k $为常数，且$ k ＞ 0 $，则点$ M $一定在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案： A
解析：$ k ＞ 0 $，双曲线在一三象限。点$ M(2,a) $横坐标为正，故在第一象限。