《2025年初中总复习优化设计数学》

【例1】如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE相交于点F，连接CF．
(1)求证：BF＝2AE；
(2)若CD＝√2，求AD的长．

答案：
(1)证明：
∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，AD=BD。
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE。又∠CDA=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，
∴AC=BF。
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，AC=2AE，
∴BF=2AE。
(2)解：
∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=√2。在Rt△CDF中，CF=√(DF²+CD²)=√((√2)²+(√2)²)=2。
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=FC=2，
∴AD=AF+DF=2+√2。

变式训练 如图，已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．

答案： 证明：
∵△ABC为等边三角形，D是AC中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°。
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E。
∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE。