《2025年初中总复习优化设计数学》

【例2】已知关于$x$的一元二次方程$(m - 2)^2x^2 + (2m + 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（ ）
A. $m ＞ \frac{3}{4}$
B. $m \geq \frac{3}{4}$
C. $m ＞ \frac{3}{4}$，且$m \neq 2$
D. $m \geq \frac{3}{4}$，且$m \neq 2$

答案： C
由题意得$\begin{cases} (m - 2)^2 \neq 0 \\ \Delta = (2m + 1)^2 - 4(m - 2)^2 ＞ 0 \end{cases}$，
$(m - 2)^2 \neq 0$得$m \neq 2$，
$\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4(m^2 - 4m + 4) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 16m - 16 = 20m - 15 ＞ 0$，$20m ＞ 15$，$m ＞ \frac{3}{4}$，
故$m ＞ \frac{3}{4}$且$m \neq 2$。

【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + k + 1 = 0$的两个实数根分别是$x_1$，$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 24$，则$k$的值是（ ）
A. 8
B. -7
C. 6
D. 5

答案： D
由根与系数关系得$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = k + 1$，
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 36 - 2(k + 1) = 24$，
$36 - 2k - 2 = 24$，$-2k = -10$，$k = 5$，
$\Delta = 36 - 4(k + 1) = 36 - 24 = 12 ＞ 0$，故$k = 5$。

【例4】如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为$(x^2 + 17)cm$，正六边形的边长为$(x^2 + 2x)cm$（其中$x ＞ 0$）.求这两段铁丝的总长.

答案： 由题意，正五边形周长$5(x^2 + 17)$，正六边形周长$6(x^2 + 2x)$，
因为周长相等，所以$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$，
$5x^2 + 85 = 6x^2 + 12x$，$x^2 + 12x - 85 = 0$，
$(x + 6)^2 = 85 + 36 = 121$，$x + 6 = \pm11$，$x = 5$（$x = -17$舍去），
一段铁丝长$5(25 + 17) = 5×42 = 210$cm，总长$210×2 = 420$cm，
故两段铁丝总长420cm。