《2025年初中总复习优化设计数学》

1. 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与$\triangle ABC$相似的是( )
A. B. C. D.

答案： B
解析：$\triangle ABC$三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，三边比$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。选项B中三角形三边长为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，比值相同，故相似。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，点$ D $，$ E $分别在$ AB $，$ AC $上，$ DE// BC $，已知$ AE=6 $，$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}$，则$ EC $的长是( )
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14

答案： B
解析：$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}$得$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{7}$。$DE// BC$，则$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{7}$，$AC=\frac{7}{3}AE=14$，$EC=AC-AE=8$。

3. 如图，$\triangle OAB$与$\triangle OCD$是以点$ O $为位似中心的位似图形，相似比为$1:2$，$\angle OCD=90^{\circ}$，$ CO=CD $。若$ B(1,0) $，则点$ C $的坐标为( )
A. (1,2) B. (1,1) C. ($\sqrt{2},\sqrt{2}$) D. (2,1)

答案： B
解析：$\triangle OCD$为等腰直角三角形，$CO=CD$。位似比$1:2$，$OB=1$，则$OC=2OB=2$，故$C(1,1)$。

4. 如图，以点$ O $为位似中心，将$\triangle ABC$缩小后得到$\triangle A'B'C'$。已知$ OB=3OB' $，则$\triangle A'B'C'$与$\triangle ABC$的面积比为( )
A. 1:3 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:9

答案： D
解析：位似比$\frac{OB'}{OB}=\frac{1}{3}$，面积比为位似比平方$\frac{1}{9}$。

5. 如图，点$ D $是$\triangle ABC$的边$ BC $的中点，且$\angle CAD=\angle B$，若$\triangle ABC$的周长为 10，则$\triangle ACD$的周长是( )
A. 5 B. $5\sqrt{2}$ C. $\frac{5}{2}$ D. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

答案： B
解析：$\angle CAD=\angle B$，$\angle ACD=\angle BCA$，则$\triangle ACD\sim\triangle BCA$，相似比$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\triangle ABC$周长 10，$\triangle ACD$周长$10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$。

6. 如图，原点$ O $是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的位似中心，点$ A(1,0) $与点$ A'(-2,0) $是对应点，$\triangle ABC$的面积是$\frac{3}{2}$，则$\triangle A'B'C'$的面积是______.

答案： 6
解析：位似比$\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{2}$，面积比$\frac{1}{4}$，$\triangle A'B'C'$面积$=\frac{3}{2}×4=6$。

7. 若$\frac{a}{6}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}\neq0$，且$ a+b-2c=3 $，则$ a= $______.

答案： 6
解析：设$\frac{a}{6}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}=k$，则$a=6k$，$b=5k$，$c=4k$。代入$6k+5k-8k=3$，解得$k=1$，$a=6$。

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$ AB=12 $，$ AC=15 $，$ D $为$ AB $上一点，且$ AD=\frac{2}{3}AB $，在$ AC $上取一点$ E $，使以$ A $，$ D $，$ E $为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似，则$ AE $等于______.

答案： 10 或 $\frac{32}{5}$
解析：$AD=\frac{2}{3}×12=8$。①$\triangle ADE\sim\triangle ABC$时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$AE=\frac{8×15}{12}=10$；②$\triangle ADE\sim\triangle ACB$时，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，$AE=\frac{8×12}{15}=\frac{32}{5}$。

9. 小明同学想利用树影测量校园内的树高。他在某一时刻测得小树高$1.5\ m$时，其影长为$1.2\ m$。当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上。经测量，地面部分影长为$6.4\ m$，墙上影长为$1.4\ m$，则这棵大树高约为______$m$。

答案： 9.4
解析：相似比$\frac{1.5}{1.2}=1.25$，地面影长对应树高$6.4×1.25=8\ m$，总高$8+1.4=9.4\ m$。

10. 如图，已知矩形$ ABCD $，$ AB=\sqrt{3} $，$ BC=3 $，在$ BC $上取两点$ E $，$ F $（$ E $在$ F $左边），以$ EF $为边作等边三角形$ PEF $，使顶点$ P $在$ AD $上，$ PE $，$ PF $分别交$ AC $于点$ G $，$ H $。
(1)求$\triangle PEF$的边长；
(2)在不添加辅助线的情况下，当$ F $与$ C $不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
(3)若$\triangle PEF$的边$ EF $在线段$ BC $上移动。试猜想：$ PH $与$ BE $有何数量关系，并证明你的猜想的结论。

答案：
(1)2
解析：设边长为$t$，等边三角形高$\frac{\sqrt{3}}{2}t=3-AP$，$P$在$AD$上，$AP=0$时，$\frac{\sqrt{3}}{2}t=3$，$t=2\sqrt{3}$（舍），由坐标法得$t=2$。
(2)$\triangle APG\sim\triangle CHF$
解析：$AD// BC$，$\angle PAG=\angle HCF$，$\angle APG=\angle CHF$，故相似。
(3)$PH=BE+1$
解析：设$BE=x$，$EC=3-x$，$EF=2$，$CF=3-x-2=1-x$，由相似得$PH=BE+1$。