《2025年初中总复习优化设计数学》

1. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$CD\perp AB$于点$D$.已知$BC=8$，$AC=6$，则线段$CD$的长为（ ）
A. 10 B. 5 C. $\frac{24}{5}$ D. $\frac{12}{5}$

答案： C
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
$\therefore CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，选C.

2. 已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将$\triangle ABC$折叠，如图，使点$A$与点$B$重合，折痕为$DE$，则$\frac{CE}{BC}$的值是（ ）
A. $\frac{24}{7}$ B. $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C. $\frac{7}{24}$ D. $\frac{1}{3}$

答案： C
设$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，折叠后$AE=BE$，设$CE=x$，则$BE=8-x$，
在$Rt\triangle BCE$中，$BE^2=CE^2+BC^2$，即$(8-x)^2=x^2+6^2$，解得$x=\frac{7}{4}$，
$\frac{CE}{BC}=\frac{\frac{7}{4}}{6}=\frac{7}{24}$，选C.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$D$为$AB$中点，连接$DC$并延长到点$E$，使$CE=\frac{1}{3}CD$，过点$B$作$BF// DE$，与$AE$的延长线交于点$F$.若$AB=12$，则$BF$的长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 16

答案： D
$\because \angle ACB=90^\circ$，$D$为$AB$中点，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=6$，
$CE=\frac{1}{3}CD=2$，$\therefore DE=CD+CE=8$，
$\because BF// DE$，$D$为$AB$中点，$\therefore DE$是$\triangle ABF$的中位线，$\therefore BF=2DE=16$，选D.

4. 将一个有$45^\circ$角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成$30^\circ$角，如图，则三角尺的最大边的长为______cm.

答案： 6$\sqrt{2}$
纸带宽3cm为$30^\circ$角所对直角边，设三角尺直角边为$a$，则$\sin30^\circ=\frac{3}{a}$，$a=6$，
最大边（斜边）为$a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ cm$.

5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若$a=3$，$b=4$，则该矩形的面积为______.

答案： 24
矩形由两个勾股形分割图形拼成，每个图形面积为$\frac{1}{2}ab×2 + x^2=ab + x^2$（$x$为正方形边长），
矩形面积为$2(ab + x^2)-2x^2=2ab=2×3×4=24$.

6. 如图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=BC$，点$D$是$AC$的中点，直角$\angle EDF$的两边分别交$AB$，$BC$于点$E$，$F$，给出以下结论：①$AE=BF$；②$S_{四边形BEDF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$；③$\triangle DEF$是等腰直角三角形；④当$\angle EDF$在$\triangle ABC$内绕顶点$D$旋转时（点$E$不与点$A$，$B$重合），$\angle BFE=\angle CDF$，上述结论始终成立的有______个.

答案： 3
连接$BD$，$\because AB=BC$，$D$是$AC$中点，$\therefore BD\perp AC$，$BD=AD=CD$，$\angle A=\angle C=45^\circ$，$\angle EBD=\angle FBD=45^\circ$，
可证$\triangle ADE\cong\triangle BDF$，$\triangle BDE\cong\triangle CDF$，
①$AE=BF$成立；②$S_{四边形BEDF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$成立；③$DE=DF$，$\triangle DEF$是等腰直角三角形成立；④$\angle BFE=\angle C + \angle CDF=45^\circ+\angle CDF$，不成立，
始终成立的有3个.