《2025年初中总复习优化设计数学》

变式训练 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE//AC交BC的延长线于点E．
(1)求△BDE的周长；
(2)点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q，求证：BP=DQ．

答案：
(1)24
(2)证明见解析
解析：
(1)菱形ABCD中，AC=6，
∴AO=3，AB=5，BO=√(AB² - AO²)=4，BD=8．DE//AC，AD//BC，
∴四边形ACED是平行四边形，DE=AC=6，CE=AD=BC=5，BE=BC + CE=10．△BDE中，BD=8，DE=6，BE=10，周长=8+6+10=24．
(2)
∵AD//BC，
∴∠QDO=∠PBO，∠DQO=∠BPO．
∵OD=OB（菱形对角线平分），
∴△DQO≌△BPO(AAS)，
∴DQ=BP．

【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．
(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA=EB=FC=GD=1 cm，则图③中阴影部分的面积为______cm²．

答案：
(1)正方形
证明：
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA．设HA=EB=FC=GD=k，则AE=BF=CG=DH．
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)，
∴EH=EF=FG=GH，∠EHA=∠FEB．
∵∠EHA + ∠HEA=90°，
∴∠FEB + ∠HEA=90°，∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
(2)1
解析：拼接后阴影部分为小正方形，边长=EB=1 cm，面积=1×1=1 cm²．