《2025年初中总复习优化设计数学》

【例7】某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息.
①统计售价与需求量的数据，通过描点(图(1))，发现该蔬菜需求量$ y_{需求量} $（单位：吨）关于售价$ x $（单位：元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其解析式为$ y_{需求量}=ax^{2}+c $，部分对应值如下表：
|售价$ x $（元/千克）|…|2.5|3|3.5|4|…|
|----|----|----|----|----|----|----|
|需求量$ y_{需求量} $（吨）|…|7.75|7.2|6.55|5.8|…|
②该种蔬菜供给量$ y_{供给量} $（单位：吨）关于售价$ x $（单位：元/千克）的函数解析式为$ y_{供给量}=x-1 $，函数图象见图(1).
③1～7月份该蔬菜售价$ x_{售价} $（单位：元/千克）、成本$ x_{成本} $（单位：元/千克）关于月份$ t $的函数解析式分别为$ x_{售价}=\frac{1}{2}t+2 $，$ x_{成本}=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t+3 $，函数图象见图(2).
请解答下列问题.
(1)求$ a,c $的值.
(2)根据图(2)，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.
(3)求该种蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.

答案：
(1)将$(3,7.2)$，$(4,5.8)$代入$ y_{需求量}=ax^{2}+c $，得$\begin{cases}9a + c = 7.2 \\16a + c = 5.8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{5} \\c=9\end{cases}$。
(2)4月。理由：设每千克获利$ w $元，$ w=x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t + 2 - (\frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t + 3)=-\frac{1}{4}(t - 4)^{2}+3$。因为$-\frac{1}{4}＜0$，$1\leq t\leq7$，所以$ t = 4 $时，$ w $最大。
(3)售价5元/千克，总利润8000元。解析：由$ y_{供给量}=y_{需求量} $得$ x - 1=-\frac{1}{5}x^{2}+9 $，解得$ x = 5 $（$ x=-10 $舍去）。此时$ y_{供给量}=4 $吨=4000千克，$ t = 6 $，$ w=-\frac{1}{4}(6 - 4)^{2}+3=2 $元/千克，总利润$ 2×4000 = 8000 $元。