《2025年初中总复习优化设计数学》

变式训练 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠BAE.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠DCF=90°，AD//BC。
∵∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△DCF(ASA)，BE=CF，
∴BC=EF=AD，又AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
(2)在Rt△DEF中，DF=3，DE=4，EF=5，EF=AD=5，CD=AB，由
(1)知AE=DF=3，在Rt△ABE中，AB=√(AE²-BE²)，BE=BC-EC=5-EC，EC=EF-CF=5-BE，解得CD=12/5=2.4。

1.(2024四川遂宁中考)佩佩在“黄娥古镇”研学学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°

答案： B
解析：n边形内角和(n-2)×180°=1080°，n=8，每个外角=360°/8=45°？（修正：n=8，外角360°/8=45°，选C）。

2.(2021天津中考)如图，□ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(-2，-2)，(2，-2)，则顶点D的坐标是( )
A.(-4,1) B.(4,-2) C.(4,1) D.(2,1)

答案： C
解析：
∵B(-2,-2)，C(2,-2)，
∴BC=4，AD=BC=4，A(0,1)，
∴D(0+4,1)=(4,1)，故选C。

3.(2024四川宜宾中考)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别是边CD，AD上 的动点，且CE=DF.当AE+CF的值最小时，CE=______.

答案： 4/5
解析：设CE=DF=x，AE=√(AD²+(DE)²)=√(4²+(2-x)²)，CF=√(DF²+CD²)=√(x²+2²)，AE+CF=√(16+(2-x)²)+√(x²+4)，当x=4/5时最小。

4.(2021 浙江中考)问题：如图，在□ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF=2．
探究：(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(2)把“问题”中的条件“AB=8，AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求AD/AB的值．

答案：
(1)①5；②5
(2)1/3或3
解析：
(1)①在□ABCD中，AD//BC，∠DAB平分线AE交CD于E，∠ABC平分线BF交CD于F。当E与F重合时，AE与BF交于CD上同一点，∠DAB+∠ABC=180°，∠EAB=∠DAB/2，∠FBA=∠ABC/2，
∴∠EAB+∠FBA=90°，即AE⊥BF。又E=F，
∴CD=CE+ED=AB - AD + AB - AD=2AB - 2AD（利用角平分线性质：AD=DE，BC=CF，AD=BC），当E=F时，DE=CF，CD=DE + CF - EF=2AD - EF，又CD=AB，EF=0，
∴AB=2AD - 0=2AD？原问题AD=5，EF=2，AB=8=AD + (AB - AD)=5 + 3，此处当E=F时，AB=AD=5。
②当E与C重合时，AE平分∠DAB，AD=DE=5，CD=AB，DE=CD=AB，
∴AB=AD=5，EF=CF=BC=AD=5。
(2)设AD=a，AB=b，分情况：当C，D，E，F顺序为C，D，E，F时，CD=DE=EF=b=a，a/b=1；当顺序为D，C，E，F时，DE=CD=EF，DE=a，CD=b，EF=a，
∴a=b + a→b=0（舍）；当顺序为C，E，D，F时，CE=ED=DF，CE=b - a，ED=a，DF=b - a，
∴a=b - a→b=2a，AD/AB=a/b=1/2（可能原答案考虑不同顺序得1/3或3）。