《2025年初中总复习优化设计数学》

7.化简并求值：$(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y})÷\frac{2x-y}{x^2-y^2}$，其中x,y满足$|x-2|+(2x-y-3)^2=0$.

答案： $\frac{4}{3}$
解析：由$|x - 2| + (2x - y - 3)^2 = 0$得$\begin{cases}x - 2 = 0 \\ 2x - y - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$。原式=$\frac{x + y + x - y}{(x - y)(x + y)}÷\frac{2x - y}{x^2 - y^2} = \frac{2x}{x^2 - y^2}\cdot\frac{x^2 - y^2}{2x - y} = \frac{2x}{2x - y}$，代入得$\frac{2×2}{2×2 - 1} = \frac{4}{3}$。

8.先化简，再求值：$\frac{x^2-2x}{x^2-1}÷(x-1-\frac{2x-1}{x+1})$，其中x是不等式组$\begin{cases}x+3＞0 \\ x\leq\frac{x-2}{3}+2\end{cases}$的整数解.

答案： $-\frac{1}{3}$
解析：解不等式组$\begin{cases}x + 3 ＞ 0 \\ x \leq \frac{x - 2}{3} + 2\end{cases}$得$-3 ＜ x \leq 2$，整数解为$-2,-1,0,1,2$。原式=$\frac{x(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)}÷\frac{(x - 1)(x + 1) - (2x - 1)}{x + 1} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)}÷\frac{x^2 - 2x}{x + 1} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)}\cdot\frac{x + 1}{x(x - 2)} = \frac{1}{x - 1}$。由题意得$x \neq \pm1,0,2$，故$x = -2$，代入得$\frac{1}{-2 - 1} = -\frac{1}{3}$。

考点一 二次根式
1.概念：形如______的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件：要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，则______.

答案： 1.$\sqrt{a}(a\geq0)$ 2.$a\geq0$

考点二 二次根式的性质
1.$(\sqrt{a})^2=$______$(a\geq0)$.
2.$\sqrt{a^2}=$______$=\begin{cases}______,a\geq0 \\ ______,a＜0\end{cases}$.
3.$\sqrt{ab}=$______$(a\geq0,b\geq0)$.
4.$\sqrt{\frac{a}{b}}=$______$(a\geq0,b＞0)$.

答案： 1.$a$ 2.$|a|$；$a$；$-a$ 3.$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ 4.$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

考点三 最简二次根式
最简二次根式的概念：我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式.

答案： 因数；因式