《2025年初中总复习优化设计数学》

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，若BP=a，CQ=$\frac{9}{2}a$，求P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）.

答案：
(1)证明：
∵E为BC中点，
∴BE=CE。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠B=∠C=45°。
∵AP=AQ，
∴AB-AP=AC-AQ，即BP=CQ。在△BPE和△CQE中，$\begin{cases} BP=CQ \\ ∠B=∠C \\ BE=CE \end{cases}$，
∴△BPE≌△CQE(SAS)；
(2)解：
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°。
∵∠BEQ是△QEC的外角，
∴∠BEQ=∠C+∠CQE。又∠BEQ=∠BEP+∠DEF，
∴∠BEP=∠CQE，
∴△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}=\frac{BE}{CQ}$。
∵BE=CE，
∴$BE^2=BP·CQ=\frac{9}{2}a^2$，
∴BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}a$，BC=3$\sqrt{2}a$。在Rt△ABC中，AB=AC=3a，
∴AQ=CQ-AC=$\frac{3}{2}a$，AP=AB-BP=2a。连接PQ，则PQ=$\sqrt{AP^2+AQ^2}=\sqrt{(2a)^2+(\frac{3}{2}a)^2}=\frac{5}{2}a$。