《2025年初中总复习优化设计数学》

【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线，BE⊥AE．
(1)求证：DA⊥AE；
(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

答案：
(1)证明：
∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠BAF，
∴∠BAD=∠BAC/2，∠BAE=∠BAF/2．
∵∠BAC + ∠BAF=180°，
∴∠BAD + ∠BAE=(∠BAC + ∠BAF)/2=90°，即∠DAE=90°，
∴DA⊥AE．
(2)AB=DE．证明：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°．
∵BE⊥AE，∠DAE=90°，
∴四边形ADBE是矩形（三个角是直角），
∴AB=DE（矩形对角线相等）．

【例2】如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

答案：
(1)证明：
∵□ABCD中AD//BC，
∴∠AFB=∠FBE．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBE，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF．同理，AB=BE，
∴AF=BE．又AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
(2)解：过点P作PG⊥AD于G．
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴△ABE是等边三角形，AE=AB=4，AP=AE/2=2．∠BAD=120°，AE平分∠BAD，
∴∠PAD=60°．在Rt△APG中，AG=AP·cos60°=1，PG=AP·sin60°=√3．AD=6，
∴DG=AD - AG=5，
∴tan∠ADP=PG/DG=√3/5．