《2025年初中总复习优化设计数学》

【例1】如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )
A.2 cm² B.4 cm²
C.8 cm² D.16 cm²

答案： C
解析：设留下矩形宽为x，原矩形长8宽4，相似比4/8=x/4，x=2，面积=4×2=8 cm²，选C。

【例2】如图,在△ABC和△ADE中,∠ABC=∠ADE,∠BAD=∠CAE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)； (2)请分别说明两对三角形相似的理由.
(例2题图)

答案：
(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
(2)①
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，又∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；②
∵△ABC∽△ADE，
∴AB/AD=AC/AE，又∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE。

变式训练 如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E. (1)求证:△ABD∽△CED； (2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
(变式训练题图)

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°，CE平分∠ACF，∠ACE=60°=∠BAC，又∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED；
(2)解：AB=6，AD=2CD，AD=4，CD=2。△ABD∽△CED，AB/CE=AD/CD=2，CE=3。过E作EG⊥BC延长线于G，∠ECG=60°，CG=3/2，EG=3√3/2，BE=√[(6+3/2)²+(3√3/2)²]=√(225/4+27/4)=√63=3√7。