《2025年初中总复习优化设计数学》

5.(2020天津中考)如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC,BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数).（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

答案： 过A作AD⊥BC于D，设AD=x m。在Rt△ABD中，∠ABD=58°，BD=AD/tan58°≈x/1.60。在Rt△ACD中，∠ACD=45°，CD=AD=x。
∵BC=BD+CD=221，
∴x/1.60 +x=221，解得x≈221×1.60/2.60≈136。
AB=AD/sin58°≈136/0.85≈160m。

1.tan60°的值等于( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2

答案： C
解析：tan60°=√3，故选C。

2.河堤横断面如图，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为1:√3，则AB的长为( )
A.12m B.4√3m C.5√3m D.6√3m

答案： A
解析：坡比1:√3即BC:AC=1:√3，BC=6，
∴AC=6√3。AB=√(AC²+BC²)=√[(6√3)²+6²]=12m，故选A。

3.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=3/4，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是( )(结果取整数，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)

答案： 200米
解析：设AB=3x，BC=4x，AC=5x。在Rt△ABD中，tan26.6°=AB/BD=3x/(200+4x)=0.5，解得x=200/2=100，AB=3x=300？（修正：tan26.6°=AB/(DC+BC)=3x/(200+4x)=0.5，3x=0.5(200+4x)，3x=100+2x，x=100，AB=3x=300，选A）。

4.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是______.

答案： √5/5
解析：设小正方形边长为1，AB=√(2²+4²)=2√5，AC=√(3²+4²)=5，BC=√(1²+2²)=√5。由余弦定理cos∠BAC=(AB²+AC²-BC²)/(2AB·AC)=(20+25-5)/(2×2√5×5)=40/(20√5)=2√5/5，sin∠BAC=√(1-(2√5/5)²)=√5/5。

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=3/5，则DE=______.

答案： 15/4
解析：在Rt△ABC中，sinA=BC/AB=3/5，BC=6，
∴AB=10，AC=8，AD=AB/2=5。
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ACB，DE/BC=AD/AC，DE=6×5/8=15/4。