《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

9 - 2 [武汉汉阳区期末]如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,AE = AD,作DF⊥AE于点F.
(1)求证:AB = AF.
(2)连接BF并延长交DE于点G.
①求证:EG = DG;
②若EG = 1,求矩形ABCD的面积.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，∠BAD = ∠ABE = 90°，
∴∠DAE = ∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = 45°，
∴∠AEB = ∠BAE = 45°，
∴AB = BE.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD = 90°，
∴∠ABE = ∠AFD = 90°.
又AE = AD，
∴△ABE≌△AFD(AAS)，
∴AB = AF.
(2)①证明：
∵AE = AD，∠EAD = 45°，
∴∠AED = ∠ADE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠EAD) = 67.5°，
∴∠FDG = 90° - ∠AED = 22.5°.
∵AB = AF，∠BAF = 45°，
∴∠AFB = ∠ABF = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAF) = 67.5°，
∴∠EFG = ∠AFB = 67.5°，
∴∠DFG = 90° - ∠EFG = 22.5°，∠EFG = ∠AED，
∴FG = EG，∠DFG = ∠FDG，
∴FG = DG，
∴EG = DG.
②解：
∵EG = 1，
∴DE = 2.设AB = x，则AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{2}x$，DF = AF = x，
∴EF = $\sqrt{2}x - x$，AD = $\sqrt{AF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{2}x$.
在Rt△DFE中，$EF^{2}+DF^{2}=DE^{2}$，
∴$(\sqrt{2}x - x)^{2}+x^{2}=2^{2}$，
∴$x^{2}=2+\sqrt{2}$，
∴矩形ABCD的面积 = AD·AB = $\sqrt{2}x^{2}=\sqrt{2}\times(2+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}+2$.