《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6 [赤壁期中]如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,正方形A,B,C的面积分别是8 $cm^{2}$,10 $cm^{2}$,14 $cm^{2}$,则正方形D的面积是______ $cm^{2}$.

思路分析
$S_{正方形1}+S_{正方形2}=S_{正方形3}=49 cm^{2}$
$S_{正方形A}+S_{正方形B}$ $S_{正方形C}+S_{正方形D}$
解析:根据勾股定理可知,$S_{正方形1}+S_{正方形2}=S_{正方形3}=7^{2}=49(cm^{2})$,$S_{正方形C}+S_{正方形D}=S_{正方形2}$,$S_{正方形A}+S_{正方形B}=S_{正方形1}$,∴$S_{正方形3}=S_{正方形A}+S_{正方形B}+S_{正方形C}+S_{正方形D}$.∴$S_{正方形D}=49 - 8 - 10 - 14 = 17(cm^{2})$.
答案:17
知识点睛 与直角三角形三边相关的正方形、等边三角形、半圆等,一般都具有相同的结论:两条直角边上图形的面积之和等于斜边上图形的面积.

答案：

6 - 1 如图,分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形,若AB = 4,则三个等边三角形的面积之和是( )

A.$8\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}$
C.18
D.12

答案： A [解析]设AB=c,AC=b,BC=a,△ACD的面积为S₁,△BCE的面积为S₂,△ABF的面积为S₃,
∴易得S₃ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$c²,S₂ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$a²,S₁ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$b².
∵△ABC是直角三角形，
∴BC²+AC²=AB²,即a²+b²=c²,
∴S₁ + S₂ = S₃,
∴S₁ + S₂ + S₃ = 2S₃ = 2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4² = 8$\sqrt{3}$.

6 - 2 如图,分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆.若两直角边长分别为6,8,则阴影部分的面积是______.

答案： 24　[解析]S阴影 = S半圆ADC + S半圆BEC + S△ABC - S半圆ACB = S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8 = 24.

6 - 3 如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内.若图②中阴影部分图形的面积为3,则较小的两个正方形重叠部分的面积为______.

答案：
3　[解析]如图②,由勾股定理可知
　　　　　　　　　　　　　　
(S₁ + S₄) + (S₁ + S₃) = S₁ + S₂ + S₃ + S₄,
　
∴S₁ = S₂ = 3.

例7 [方程思想]如图,有一张直角三角形纸片,其中∠ACB = 90°,AB = 5,AC = 3.现将△ABC折叠,使点C落在AB上的点D处,折痕为AE,则CE的长为( )

A. 1   B. 2    C. 1.5   D. 2.5
解析:由折叠知AD = AC = 3,CE = DE,∠ADE = ∠ACE = 90°,∴BD = AB - AD = 2,∠BDE = 180° - ∠ADE = 90°.在Rt△ABC中,$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$,∴BE = 4 - DE.在Rt△BDE中,$BE^{2}=DE^{2}+BD^{2}$,∴$(4 - DE)^{2}=DE^{2}+2^{2}$,解得DE = 1.5,即CE = 1.5.
答案:C
解题策略 由折叠的性质找出相等的线段、相等的角,将已知条件、待求元素转化到同一个直角三角形中,利用勾股定理求解.

答案：

7 - 1 如图,将等腰直角三角形ABC(∠B = 90°)沿EF折叠,使点A落在BC边的中点A₁处,BC = 8,则线段AE的长为( )

A.5
B.4
C.$\frac{17}{4}$
D.$\frac{15}{4}$

答案： A　[解析]由折叠的性质可得AE = A₁E;
∵△ABC为等腰直角三角形,BC = 8,
∴AB = 8.
∵A₁为BC的中点,
∴A₁B = 4.设AE = A₁E = x,则BE = 8 - x.在Rt△A₁BE中,由勾股定理可得A₁B² + BE² = A₁E²,即4² + (8 - x)² = x²,解得x = 5.
∴AE = 5.