《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例4 [安康岚皋县期末]随着人工智能的飞速发展，人们的工作与生活都得到了很大程度的改变，某快递公司为了提高工作效率，购买机器人进行分拣工作.已知购买1台甲型机器人的费用比购买2台乙型机器人的费用少6万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，共需要花费70万元.这两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表所示：

（1）请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价x和y分别为多少？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少买一台），购买总费用不超过100万元，并使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于19000，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少万元？
解：（1）根据题意得$\begin{cases}2y - x = 6 \\ 3x + 5y = 70 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = 10 \\ y = 8 \end{cases}$
答：购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别是10万元/台、8万元/台.
（2）设该公司购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人$(10 - a)$台.根据题意得
$\begin{cases}10a + 8(10 - a)\leq100 \\ 2000a + 1500(10 - a)\geq19000 \end{cases}$，解得$8\leq a\leq10$.因为a为正整数，且每种机器人至少买一台，所以a的值为8或9，所以该公司有2种购买方案.设该公司的购买费用为w万元，则$w = 10a + 8(10 - a) = 2a + 80$.因为$2＞0$，所以w随a的增大而增大，所以当$a = 8$时，w最小，此时$10 - a = 2$，$w = 2×8 + 80 = 96$.
答：该公司有2种购买方案.购买甲型机器人8台，乙型机器人2台时费用最低，最低费用是96万元.
解题策略 方案选择的实质是通过解不等式（组）确定方案，或根据一次函数的增减性确定最佳方案.

答案：

4-1 [河南中考改编]小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：

（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）小李第二次进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划仍购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 解：
(1)设 A 款玩偶购进 $x$ 个，则 B 款玩偶购进 $(30 - x)$ 个。由题意，得 $40x + 30×(30 - x)=1100$，
解得 $x = 20$。所以 $30 - 20 = 10$（个）。
答：A 款玩偶购进 20 个，B 款玩偶购进 10 个。
(2)设 A 款玩偶购进 $a$ 个，获利 $y$ 元，则 B 款玩偶购进 $(30 - a)$ 个。由题意，得 $y=(56 - 40)a+(45 - 30)×(30 - a)=a + 450$。
因为 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半，所以 $a\leqslant\frac{1}{2}×(30 - a)$，所以 $a\leqslant 10$。
因为 $1 ＞ 0$，所以 $y$ 随 $a$ 的增大而增大。
所以当 $a = 10$ 时，$y$ 有最大值，为 $10 + 450 = 460$，此时 $30 - a = 20$。
答：按照 A 款玩偶购进 10 个，B 款玩偶购进 20 个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是 460 元。