《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型二　简单的分段函数问题
例3 ★★☆某市为了倡导居民节约用水,生活用自来水按阶梯式水价计费.如图是某户居民每月的水费y(单位:元)与用水量x(单位:t)之间的函数图象.

(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若这户居民某月的用水量为15t,求这个月的水费;
(3)若这户居民上月水费为91元,则上月用水量为多少吨?
分析:(1)由图象可知y关于x的函数是分段函数,利用待定系数法分别求出即可;
(2)把x = 15代入(1)中相应的函数解析式,求得y的值即可;
(3)把y = 91代入(1)中相应的函数解析式,求得x的值即可.
解:(1)当x≥17时,设y关于x的函数解析式为y = k₁x + b(k₁≠0).
由题意得$\begin{cases}20k₁ + b = 66,\\30k₁ + b = 116.\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}k₁ = 5,\\b = -34.\end{cases}$
所以y = 5x - 34.
当x = 17时,y = 5×17 - 34 = 51.
当0≤x＜17时,设y关于x的函数解析式为y = k₂x(k₂≠0).由题意得17k₂ = 51,解得k₂ = 3,所以y = 3x.
综上所述,y关于x的函数解析式为$y=\begin{cases}3x(0\leq x＜17),\\5x - 34(x\geq17).\end{cases}$
(2)当x = 15时,y = 3×15 = 45,
则这个月的水费为45元.
(3)当y = 91＞51时,由题意得5x - 34 = 91,解得x = 25,
则上月用水量为25t.
解题策略 对于分段函数而言,在不同的自变量取值范围内对应着不同的解析式,要特别注意自变量取值范围的划分.解决实际问题时,关键是要看在哪一范围内.

答案：

3 - 1 ★☆[成都中考]随着“公园城市”建设的不断推进,成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是18km/h,乙骑行的路程s(单位:km)与骑行的时间t(单位:h)之间的关系如图所示.

(1)直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2 时,s关于t的函数解析式;
(2)何时乙骑行在甲的前面？

答案： 解：
(1)当$0\leq t\leq0.2$时，设$s = at(a\neq0)$，
把$(0.2,3)$代入解析式，得$0.2a = 3$，解得$a = 15$，
所以$s = 15t$；
当$t＞0.2$时，设$s = kt + b(k\neq0)$。
把$(0.2,3)$和$(0.5,9)$代入解析式，得
$\begin{cases}0.2k + b = 3 \\0.5k + b = 9 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 20 \\b = - 1 \end{cases}$，
所以$s = 20t - 1$，所以$s$关于$t$的函数解析式为
$s=\begin{cases}15t(0\leq t\leq0.2) \\20t - 1(t＞0.2) \end{cases}$。
(2)设$m$h后乙骑行在甲的前面。
根据题意得$20m - 1\geq18m$，解得$m\geq0.5$。
所以0.5 h后乙骑行在甲的前面。

3 - 2 ★★[吉林中考]某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作,当停止工作时油箱中油量为5L.在整个过程中,油箱里的油量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.

(1)机器每分钟加油量为________L,机器工作的过程中每分钟耗油量为________L;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.

答案： 解：
(1)3 0.5
(2)当$0\leq x\leq10$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y = kx(k\neq0)$，则$10k = 30$，解得$k = 3$，则$y = 3x$；
当$10 ＜ x\leq60$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y = k'x + b(k'\neq0)$，
则$\begin{cases}10k' + b = 30 \\60k' + b = 5 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k' = - 0.5 \\b = 35 \end{cases}$。
则$y = - 0.5x + 35$。
综上所述，$y$关于$x$的函数解析式为
$y=\begin{cases}3x(0\leq x\leq10) \\- 0.5x + 35(10 ＜ x\leq60) \end{cases}$。
(3)当$0\leq x\leq10$时，由题意，得$3x=\frac{1}{2}×30$，
解得$x = 5$；
当$10 ＜ x\leq60$时，由题意，得$- 0.5x + 35=\frac{1}{2}×30$，
解得$x = 40$。
故油箱中油量为油箱容积的一半时，$x$的值是5或40。