《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例4★☆☆已知三角形的三边长分别为a = $\sqrt 6$，b = 1，c =$ \sqrt 5$，试判断该三角形是不是直角三角形.
错解:∵a² + b² =$ (\sqrt 6)² + 1² $= 7，c² =$ (\sqrt 5)² $= 5，
∴a² + b² ≠ c².∴该三角形不是直角三角形.
错解剖析:误认为c是最长边导致出错.
错解改正
正解:∵a ＞ c ＞ b，b² + c² = 1² + $(\sqrt 5)² $= 6，a² =$ (\sqrt 6)² $= 6，∴b² + c² = a².∴该三角形是直角三角形.

答案：

1.★☆☆直角三角形的两条边长分别为5和12,它的斜边长为(　　)
A.13　　　　　　
　B.$\sqrt {119}$
C.13或$\sqrt {119}$　
　D.13或12

答案： D

2.★☆☆已知直角三角形的两边长分别为3和4,则直角三角形的面积为_______.

答案：
$\frac{3\sqrt{7}}{2}$或6　[解析]如图,在△ABC中， ∠C=90°,分为两种情况:①当斜边AB=4,BC=3时,由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，△ABC的面积是$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times\sqrt{7}\times3=\frac{3\sqrt{7}}{2}$；②当BC=3,AC=4时,△ABC的面积是$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times4\times3=6$.综上所述，直角三角形的面积为$\frac{3\sqrt{7}}{2}$或6.

3.★☆☆在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a + b)(a - b) = c²,则(　　)
A.∠A为直角　　
　B.∠C为直角
C.∠B为直角　　
　D.以上都不对

答案： A

4.★☆☆在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且a = 3,b = 4.若三边长为连续整数,则c = _______.

答案： 2或5

5.★☆☆在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A = 90°,a = 6,b = 3,则c = _______.

答案： $3\sqrt{3}$

6.★☆☆[哈尔滨中考改编]在△ABC中,∠ABC = 60°,AD为BC边上的高,AD = $6\sqrt 3$,CD = 1,则BC的长为_______.

答案：
7或5　[解析]
∵AD为BC边上的高，
∴△ABD 为直角三角形.在Rt△ABD中,
∵∠ABC=60°,
∴∠BAD=30°.设BD=x,则AB=2x,由勾股定理得AB²=BD²+AD²,即(2x)²=x²+$(6\sqrt 3)$²,
∴x=6,即BD=6.当点D在边BC上时,如图①,BC=BD+CD=6+1=7;当点D在BC的延长线上时,如图②,BC=BD−CD=6−1=5.综上所述,BC的长为7 或5. 　　

7.★★☆如图,在△ACB中,BC = 9,AC = 12,AB = 15.若线段AB上有一动点M,线段AC上有一动点N,始终保持AM = CN.若△AMN是直角三角形,且MN = 4,则AM的长为_______.

答案： $\frac{16}{3}$或$\frac{20}{3}$

8.★★☆如图是一块直角三角形绿地,量得两直角边BC,AC的长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的面积.

答案：
解:在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10\ (m)$.　①如图①,当AB=AD时,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BD,
∴CD=BC=6m,
∴BD=12m,则△ABD的面积为$\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}\times12\times8 = 48\ (m^{2})$；　②如图②,当AB=BD时,　△ABD的面积为$\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}\times10\times8 = 40\ (m^{2})$；③如图③,当AD=BD时,设AD=xm,　则CD=(x−6)m,在Rt△ACD中,有AD²=CD²+AC²,即x²=(x−6)²+8²,解得x=$\frac{25}{3}$,
∴BD=AD=$\frac{25}{3}$m,则△ABD的面积为$\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}\times\frac{25}{3}\times8=\frac{100}{3}\ (m^{2})$.　综上所述,扩充后等腰三角形绿地的面积是$48\ m^{2}$或$40\ m^{2}$或$\frac{100}{3}\ m^{2}$.　　

9.★☆☆[利川期末]下列长度的三条线段首尾相连,不能围成直角三角形的是(　　)
A.1,2,$\sqrt 3$　　　
　B.1,$\sqrt 2$,1
C.3,4,5　　　　
　D.$\sqrt 3$,2,$\sqrt 5$

答案： D