《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例7 [转化思想]如图，正方形$ABCD$的边长为4 cm，$E$，$F$分别是$BC$，$DC$边上的动点.点$E$，$F$同时从点$C$处出发，均以1 cm/s的速度分别向点$B$，$D$运动，当点$E$与点$B$重合时，两点均停止运动.设运动时间为$x$ s，运动过程中$\triangle AEF$的面积为$y$ $cm^{2}$，请写出$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.

思路分析
观察图形→$S_{\triangle AEF}=S_{正方形ABCD}-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle ADF}-S_{\triangle ECF}$→函数解析式
解：由题意得$CE = CF = x$ cm，
所以$BE = DF=(4 - x)$ cm.
由$S_{\triangle AEF}=S_{正方形ABCD}-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle ADF}-S_{\triangle ECF}$，得
$y = BC^{2}-\frac{1}{2}AB\cdot BE-\frac{1}{2}AD\cdot DF-\frac{1}{2}CE\cdot CF = 4^{2}-\frac{1}{2}×4(4 - x)-\frac{1}{2}×4(4 - x)-\frac{1}{2}x^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+4x$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+4x(0\leqslant x\leqslant4)$.
解题策略 本题应用转化思想，将题目中的速度、时间转化为线段的长度，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和(差)，达到化难为易、化繁为简的目的.

答案：

举一反三训练
7-1 [转化思想]如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$，$D$是$AB$的中点，点$P$从点$C$开始以每秒1个单位长度的速度沿$CD$方向向终点$D$运动.若$\triangle APD$的面积为$y$，点$P$的运动时间为$x$ s.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)几秒时$\triangle APD$的面积为$\frac{12}{5}$？ 几何画板视频 二维码
 

答案： 解:
(1)在 $\triangle ABC$ 中，$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$，
　　则 $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
　　所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
　　因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，所以 $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
　　设 $\triangle ACD$ 中 $CD$ 边上的高为 $h$。
　　因为 $S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
　　所以 $\frac{1}{2}CD\cdot h=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}BC\cdot AC$，
　　所以 $\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}h=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times4\times3$，解得 $h=\frac{12}{5}$。
　　因为 $CP = x$，所以 $PD = CD - CP=\frac{5}{2}-x$。
　　所以 $y=\frac{1}{2}PD\cdot h=\frac{1}{2}(\frac{5}{2}-x)\times\frac{12}{5}=3-\frac{6}{5}x$，
即 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = -\frac{6}{5}x + 3(0\leqslant x\leqslant\frac{5}{2})$。
(2)当 $\triangle APD$ 的面积为 $\frac{12}{5}$ 时，$-\frac{6}{5}x + 3=\frac{12}{5}$，
解得 $x=\frac{1}{2}$。故 $\frac{1}{2}\ s$ 时 $\triangle APD$ 的面积为 $\frac{12}{5}$。