《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

2 - 1 [广元苍溪县期末]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知∠AOD = 120°,AB = 2,则AC的长为(　　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
　 　

答案： B

2 - 2 [宜城期末]如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E. 若∠EAC = 2∠CAD,则∠BAE = ______°.

答案： 22.5　　[解析]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD，OA = OC = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD，
∴OA = OB = OC = OD，
∴∠OAD = ∠ODA，∠OAB = ∠OBA，
∴∠AOE = ∠OAD + ∠ODA = 2∠OAD.
∵∠EAC = 2∠CAD，
∴∠EAO = ∠AOE.
∵AE⊥BD，
∴∠AEO = 90°，
∴∠EAO = ∠AOE = 45°，
∴∠OAB = ∠OBA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AOE) = 67.5°，
∴∠BAE = ∠OAB - ∠EAO = 22.5°.

2 - 3 [贵阳中考]如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM = AB,BN⊥AM于点N.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD = 2,AN = 4,求四边形BCMN的面积.
　　　　　　

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D = 90°，DC//AB，
∴∠BAN = ∠AMD.
∵BN⊥AM，
∴∠BNA = 90°.
在△ABN和△MAD中，$\begin{cases}\angle BAN = \angle AMD \\ \angle BNA = \angle D = 90° \\ AB = MA\end{cases}$，
∴△ABN≌△MAD(AAS).
(2)解：
∵△ABN≌△MAD，
∴$S_{\triangle ABN}=S_{\triangle MAD}$，BN = AD = 2.
又AN = 4，
∴在Rt△ABN中，AB = $\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$，
∴$S_{矩形ABCD}=AB\cdot AD = 2\sqrt{5}\times2 = 4\sqrt{5}$.
又$S_{\triangle MAD}=S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}BN\cdot AN=\frac{1}{2}\times2\times4 = 4$，
∴$S_{四边形BCMN}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ABN}-S_{\triangle MAD}=4\sqrt{5}-8$.